【BZOJ 2734】集合取數

1.題目鏈接。這個題其實還是一個不錯的題目，思路比較新穎。首先構造一個矩陣：

                                

這個矩陣的構造規則是這樣的：從左上角開始，a[1][1]=st,a[i][j+1]=3*a[i][j],a[i+1][j]=2*a[i][j].也就是右邊的數都是它的三倍，做別的數都是他的兩倍，然後得到了這樣的一個矩陣。可以發現，這個矩陣裏面出現了很多的1-n中的的數。首先考慮第一個矩陣，就是用1爲左上角頂點構造的。那麼可以發現，我們選取的方案就是：不選取相鄰的數即可。可以發現，這個矩陣其實不會太大，20*20都不會超過。所以，可以把每一行的狀壓一下，然後考慮dp[i[j]表示：前i行，第i行的狀態是j的方案，這個其實就很好轉移了：

                                                     

但是這個轉移顯然是需要條件的，很明顯第一個條件就是j必須是合法的狀態，也就是j不能是選取兩個相鄰的數的轉態，這個把j>>1&j 就可以判斷，這是行上的約束，接下來就是列上的約束，這個也很好判斷，遍歷所有的i-1的狀態，k和j不能有同一行一樣，也就是j&k需要==0，這樣只是完成了第一步，因爲這個矩陣並不能把全部的數據包含進去。比如5就不在裏面，所以遍歷一下那些數據不在，優先用這些小的數據當做左上角繼續構造矩陣，還是會得到答案。這些得到的答案乘起來就是最後的結果。下面做一些細節的證明：

（1）爲什麼答案是乘起來，首先可以明確一點的就是不同矩陣的集合，得到的是不一樣的，所以考慮最後的答案的時候就是乘法原理的應用。

（2）（1）中有一個假設，就是不同矩陣得到的集合是不同的，這一點其實需要證明。現在這個命題可以等價轉化爲一個問題：不同矩陣的數值都是不一樣的，互不相交，並起來是全集{1,2,3...n}.對於後一點，並起來是全集這個毋庸置疑，是一定的。但是互不相交需要證明：

考慮構造矩陣的方式：一每個較小的值的二倍，三倍填充整個矩陣。當然，填的時候需要都是小於等於n的數。假設有一個數在兩個矩陣同時出現了：這兩個矩陣的初始值是x和y，那麼重複出現的值m：

在x矩陣裏一定會被表示爲：

                                                     

在y矩陣裏，會被表示爲：

                                                     

這裏可以簡單地討論一下，對於x,y分別做質因數分解之後，一定會變成質因數乘積的形式，如果要想等，那麼他們的差異一定只會出現在2和3這兩個質因子的冪次方上，其他部分一定是一樣的，但是如果這兩個出現了差異，那麼在x矩陣裏，一定會有另外一個位置把這個差異覆蓋掉，這一點我不好解釋，其實就是類似於自由組合的思想。所以他倆不可能相等，那麼就說明了，各個矩陣裏面的數都是不相等的。其實看了幾份題解，都沒有提到過這一點，不知道是我多慮了還是大家都默認就是乘起來。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod=1e9+1;
bool vis[(int)1e6+10];
int a[20][20];
ll f[20][1<<16];
int top[20];
int n;
ll calc(int x)
{
    a[1][1]=x;
    int i;
    for(i=1;;i++)
    {
        int j;
        for(j=1;;j++)
        {
            vis[a[i][j]]=true;
            a[i][j+1]=a[i][j]*3;
            if(a[i][j+1]>n) break;
        }
        top[i]=j;
        a[i+1][1]=a[i][1]*2;
        if(a[i+1][1]>n) break;
    }
    top[i+1]=0;
    int temp=i;
    for(int i=1;i<=temp;i++)
        for(int j=0;j<(1<<top[i]);j++)
            f[i][j]=0;
    f[temp+1][0]=0;
    f[0][0]=1;
    top[0]=0;
    for(i=0;i<=temp;i++)
    {
        for(int j=0;j<(1<<(top[i]));j++)
        {
            if(f[i][j]==0) continue;
            if((j&(j<<1))) continue;
            for(int k=0;k<(1<<(top[i+1]));k++)
            {
                if(j&k) continue;
                (f[i+1][k]+=f[i][j])%=mod;
            }
        }
    }
    return f[temp+1][0];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
            ans=ans*calc(i)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}