BZOJ 2005 & BZOJ 2301

BZOJ 2005:

2005: [Noi2010]能量採集

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 552 MB
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Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是(0, 0)。 能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器連接而成的線段上有k棵植物，則能量的損失爲2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標爲(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器連接的線段上沒有植物，則能量損失爲1。現在要計算總的能量損失。 下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明瞭能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。 在這個例子中，總共產生了36的能量損失。

Input

僅包含一行，爲兩個整數n和m。

Output

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

Sample Input

【樣例輸入1】
5 4


【樣例輸入2】
3 4

Sample Output

【樣例輸出1】
36

【樣例輸出2】
20

【數據規模和約定】
對於10%的數據：1 ≤ n, m ≤ 10；

對於50%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100；

對於80%的數據：1 ≤ n, m ≤ 1000；

對於90%的數據：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

對於100%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

BZOJ 2301:

2301: [HAOI2011]Problem b

Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MB
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Description

對於給出的n個詢問，每次求有多少個數對(x,y)，滿足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函數爲x和y的最大公約數。

Input

第一行一個整數n，接下來n行每行五個整數，分別表示a、b、c、d、k

 

Output

共n行，每行一個整數表示滿足要求的數對(x,y)的個數

 

Sample Input

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

Sample Output

14

3

HINT

100%的數據滿足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

【題解】這兩道題之所以一起寫，是因爲它們非常相似，都可以用莫比烏斯反演解決。

首先觀察第一題：

能量損失我們可以最後算，那麼現在就是考慮 k的值，觀察發現 k=gcd(x,y)-1;所以，問題就轉化成計算gcd(x,y)=k 的對數情況。所以我們可以枚舉k值，然後計算sigma.k|p u(p/k)*(x/p)*(y/p),只要枚舉p/k就可以了；當然還有一種更爲簡便高效的方法，就是將k 提出，在(x/k)和(y/k)中找gcd(i,j)=1,這樣還可以用到分塊優化。不過這一題，第一種也可以過，但另一題，就不得不用到分塊了。

  

proble p，這題與上一題非常相像，不過k已經給你了所以不需要枚舉，提出k,後只要直接計算+分塊。

 至於a,b,c,d的範圍限制，只要容斥原理加減一下就可以了。

BZOJ 2005 代碼:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
#define LL long long

int f[100001],prime[100001],u[100001];
inline void mobius()
{
 		 memset(f,0,sizeof(f));
 		 int tot=0;u[1]=1;
 		 for(int i=2;i<=100000;i++)
 		 {
 			 if(!f[i]){prime[++tot]=i;u[i]=-1;}
 			 for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=100000;j++)
 			 {
			  			f[prime[j]*i]=prime[j];
			  			if(!(i%prime[j])){
								u[i*prime[j]]=0;
								break;
					    }else u[prime[j]*i]=-u[i];
  			 }
       }
}
int main()
{
 	 
 	 mobius();
 	 int n,m;LL ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
 	 if(n>m)swap(n,m);
 	 for(int i=1;i<=n;i++)
 	 {
	  LL tot=0;
 	  for(int j=1;j<=n/i;j++)
		 tot+=(LL)(n/(j*i))*(m/(j*i))*u[j];
		 
		ans+=tot*((i-1)*2+1);
	 }
	 printf("%lld\n",ans);
	 return 0;
}

BZOJ 2301:

	#include<cstdio>
	#include<cstring>
	#include<algorithm>
	
	#define LL long long
	#define maxn 50000
	
	using namespace std;
	
	int f[maxn+1],prime[maxn+1],u[maxn+1],sum[maxn+1];
	
	inline int mobius()
	{
	 		 memset(f,0,sizeof(f));
	 		 int tot=0;u[1]=1;
			 for(int i=2;i<=maxn;i++)
			  {
			  			if(!f[i]){prime[++tot]=i;u[i]=-1;}
			  			for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=maxn;j++)
			  			 {
						  		  f[i*prime[j]]=prime[j];
						  		  if(!(i%prime[j])){
		  						  						  u[i*prime[j]]=0;
		  						  						  break;
		  						  }else u[i*prime[j]]=-u[i];
			  		  	 }
				}
			 sum[0]=0;
			 for(int i=1;i<=maxn;i++)sum[i]=sum[i-1]+u[i];
	}
	 
	inline LL solve(int x,int y)
	{
	 		 int t=min(x,y);LL ans=0;
	 		 for(int i=1,last;i<=t;i=last+1){
	 			last=min(x/(x/i),y/(y/i));
	 			ans+=(LL)(sum[last]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);
			  }
	 		 return ans;
	}
	
	int main()
	{
	 	 mobius();
	 	 int a,b,c,d,k,n;
	 	 scanf("%d",&n);
	 	 while(n--){
		 				scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		 				LL ans=0;
		 				ans+=solve(b/k,d/k);
		 				ans-=solve((a-1)/k,d/k);
		 				ans-=solve(b/k,(c-1)/k);
		 				ans+=solve((a-1)/k,(c-1)/k);
		 				printf("%I64d\n",ans);
	    }
	    return 0;
	}