BZOJ1010

1010: [HNOI2008]玩具裝箱toy

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 5616  Solved: 2052
[Submit][Status]

Description

P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號爲1...N的N件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度爲Ci.爲了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一個容器中，那麼容器的長度將爲 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度爲x,其製作費用爲(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容器，甚至超過L。但他希望費用最小.

Input

第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

輸出最小費用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

【題解】一道斜率優化的題目。

首先關於斜率優化是什麼，可以自行了解，其性質主要利用了一種單調性。

先建立一個前綴數組，在加的時候可以先把間隔1加入。

f[ i ]表示直到第i個物品的費用。f[ i ] =min( f[ j ]+(sum[ i ]-sum[ j ]-1-l)^2){ j<i }

然後設{k<j<i}

f[ j ]+(sum[ i ]-sum[ j ]-1-l)^2>f[ k ]+(sum[ i ]-sum[ k ]-1-l)^2 移項得

(sum[i]-sum[j]-1-l)^2-(sum[i]-sum[k]-1-l)>f[ k ]-f[ j ];

(2sum[i]-sum[j]-sum[k]-2*(1+l))*(sum[k]-sum[ j ])>f[ k ]-f [ j ]

2sum[i]-sum[j]-sum[k]-2*(1+l)<(f[k]-f[j])/(sum[k]-sum[j])

2*(sum[i]-1-l)<(f[k]-f[j]+sum[k]^2-sum[j]^2)/(sum[k]-sum[j])

滿足這個式子的k 優於 j 所以,根據這個性質，我們用單調隊列維護它。O（n）DP就可以實現了。

#include<cstdio>

#define LL long long
LL s[50001],f[50001];
int w[50001];
inline LL fang(LL x){return x*x;}
inline double value(int x,int y)
{
	return (f[x]-f[y]+fang(s[x])-fang(s[y]))*1.0/(s[x]-s[y]);
}
int main()
{
	int n,l;w[1]=f[0]=s[0]=0;
	scanf("%d%d",&n,&l);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		s[i]=s[i-1]+x+1;
	}
	int head=1,tail=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(head<tail)
		 while((value(w[head],w[head+1])<2*(s[i]-1-l)) && (head<tail))head++;
		f[i]=f[w[head]]+fang(s[i]-s[w[head]]-1-l);
		if(tail>head)
		 while((value(w[tail],i)<value(w[tail-1],w[tail])) && (head<tail))tail--;
		w[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}