stone [期望]

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$\mathcal{Description}$

有 $n$ 堆石子,依次編號爲 $1, 2,\ldots , n$,其中第 $i$ 堆有 $a_i$ 顆石子
你每次等概率隨機選擇一顆石子,並取完它所在的那一堆石子
求第 $1$ 堆石子被取走的時間的期望

$n\leq 10^5,a_i\leq 10^9$

$\mathcal{Solution}$

這題不是很難，然而並不是考慮$DP$，用的比較巧妙的方法
考慮期望的線性性，設$p_i$表示第$i$堆石子在第一堆石子前
若第$i$堆石子在第$1$堆石子前被取出來，那麼就會多$1$次取走操作
換成期望就是$E=\sum\limits_{i=2}^np_i*1$

現在的問題就是求$p_i$了
考慮第$i$堆石子在第$1$堆石子之前被取走
假設現在有$tot$個石子，那麼取走$i$的概率是$\dfrac{a_i}{tot}$，取走$1$的概率是$\dfrac{a_1}{tot}$
無論$tot$的值是什麼，第$i$堆石子比第$1$堆石子先被取走的概率都是$\dfrac{a_i}{a_i+a_1}$
於是這道題就解決了

$\mathcal{Code}$

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年11月07日 星期四 20時01分34秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n,x;
double ans;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&x);
	for (int i=2;i<=n;++i){
		int p;
		scanf("%d",&p);
		ans+=1.0*p/(x+p);
	}
	ans+=1;
	printf("%.10lf\n",ans);
	return 0;
}

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