[IOI2002]任務安排

[IOI2002]任務安排

Description

N個任務排成一個序列在一臺機器上等待完成（順序不得改變），這N個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻0開始，這些任務被分批加工，第i個任務單獨完成所需的時間是Ti。在每批任務開始前，機器需要啓動時間S，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和（同一批任務將在同一時刻完成）。每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用係數Fi。請確定一個分組方案，使得總費用最小。

例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。如果分組方案是{1,2}、{3}、{4,5}，則完成時間分別爲{5,5,10,14,14}，費用C={15,10,30,42,56}，總費用就是153。

Input

第一行是N(1＜=N＜=5000)。

第二行是S(0＜=S＜=50)。

下面N行每行有一對數，分別爲Ti和Fi，均爲不大於100的正整數，表示第i個任務單獨完成所需的時間是Ti及其費用係數Fi。

Output

一個數，最小的總費用。

Sample Input

5

1

1 3

3 2

4 3

2 3

1 4

Sample Output

153

Source

動態規劃 ，斜率優化

Solution

簡單的DP問題，可以考慮斜率優化等，但是因爲數據不大O(n^2)也可以過的

考慮到對於每一種花費情況，顯然每一個元件是否處於該批次只對其後面的元件有影響，於是可以考慮有後綴和記錄花費時間及代價，然後倒序更新dp值，最後答案在dp[1]上，注意初始化以及更新的範圍：

  dp[n + 1] = 0;
  for (int i = n; i >= 1; --i)
    for (int j = i + 1; j <= n + 1; ++j)
      dp[i] = min(dp[i], dp[j] + sumf[i] * (sumt[i] - sumt[j] + s));

還可以用前綴和處理，找到一個O(n^3)的遞推關係式，然後加一個斜率優化

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#define L 5010
#define inf 1000000009
#define LL long long
using namespace std;

int n, s;
LL f[L], t[L], sumf[L], sumt[L], dp[L];

int main() {
  freopen("batch.in", "r", stdin);
  freopen("batch.out", "w", stdout);
  memset(dp, inf, sizeof(dp));
  scanf("%d %d", &n, &s);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld %lld", &t[i], &f[i]);
  for (int i = n; i >= 1; --i) sumt[i] = sumt[i + 1] + t[i], sumf[i] = sumf[i + 1] + f[i];
  dp[n + 1] = 0;
  for (int i = n; i >= 1; --i)
    for (int j = i + 1; j <= n + 1; ++j)
      dp[i] = min(dp[i], dp[j] + sumf[i] * (sumt[i] - sumt[j] + s));
  printf("%lld\n", dp[1]);
  return 0;
}

Summary

考試的時候考慮到了每一個元件的影響範圍是取決於本組在該元件後的元件，所以有考慮用後綴數組，大概算了算遞推公式和標程大概差不多，然而只剩下不到十分鐘了，於是……

後面看了下題解，但是一直沒有處理好初始化以及範圍的問題，後來受標程的啓發將初始值後移了一位就A了