RSA中 底數m和模數 n 不互素是仍然成立

前言：僅個人小記。 注意到 RSA 中並不要求消息 m 要和模數 n 互素，而 RSA 所依賴的“費馬定理，歐拉定理”，彷彿都要要求 m 須和模數 n 互素。這裏給出針對 RSA 中 n 爲兩個素數乘積時的具體解釋，實際上應歸屬於廣義的歐拉定理，這裏暫不討論廣義的歐拉定理。同時，根據本文的推導邏輯（不做討論），容易直覺上知道 RSA 中 n 不應該是多個素數的乘積，而只能是2個素數的乘積。（因爲 m 中可以缺不止一個素數，而RSA的正確性要求當 m和n 不互素的時候，m 中最多隻能缺一個素數）

前要知識

1. 普通版的歐拉定理 ${a}^{\varphi(m)} \%m\equiv1,其中a\perp m, \varphi(\cdot)是歐拉函數$公式圖片展示如下，
2. n=pq,其中 p,q 爲素數，則若 $m\perp n$ ，則必然$m=kp$ 或者 $m=kq$，m 只可能是這兩種形式之一。
3. n=pq,其中 p,q 爲素數，則 $\varphi(n)=\varphi(p)\varphi(q)$

RSA 使用要求

$c\equiv m^e\ (mod \ n)$$ed\equiv1 (mod\ \varphi(n))$$m\in \{0,1,...,n-1\}$
注意：不要求 $m\perp n$.

RSA 成立的根基在於 $m^{ed}=m^{k\varphi(n)+1}\equiv m(mod\ n)$恆成立。

顯然，當 $m\perp n$時，上式直接滿足歐拉定理。

當 $m\not\perp n$ 時，這是本文討論的重點，討論如下：
這裏只結合 RSA 這個特殊環境討論，只考慮 $n=pq, 其中p、q爲兩個素數$
即我們要證明$m^{\varphi(n)+1}=m, m\perp n,n=pq,其中 p,q 爲素數$
由前要知識 2 知道，必然 m 的形式只可能爲 $m=kp 或者 m=kq,k 爲常數$，我們只討論 $m=kp$(另一種情況的討論完全一致)。
因爲 p、q 是素數，容易知道 $kp\perp q$。進而根據上述普通版歐拉定理知道，必然有

$(kp)^{\varphi(q)}\equiv 1 (mod \ q)$故而得到

$((kp)^{\varphi(q)})^{\varphi(p)}\equiv 1(mod \ q)$進而有

$(kp)^{\varphi(n)}=(kp)^{\varphi(p)\varphi(q)}\equiv1(mod\ q)$
進而，$(kp)^{\varphi(n)}=sq+1,s 爲某個整數$
注意，上面是等式，不是同餘式。故而可以將其帶入要證明的式子左側，得到

$(kp)^{\varphi(n)+1}=(kp)^{\varphi(n)}(kp)=(sq+1)(kp)=sqkp+kp=skqp+kp=skn+kp\equiv kp(mod\ n)$

即 $m=kp$，即 $m\not \perp n, n=pq,其中 p,q 爲素數$，有$m^{\varphi(n)+1}\equiv m(mod\ n)$
證畢！