要想絕對保密，必須密鑰個數大於明文個數

核心：每一個密鑰$k\in\mathcal{K}$，都對應着一張明密文表。考察，任意密文$c\in\mathcal{C}$，$c$在所有的明密文表中對應的明文形成的集合記爲$\mathcal{M}(c)$，則顯然有$|\mathcal{M}(c)|\leq |K|$。如果$|\mathcal{K}|<|\mathcal{M}|$，即密鑰空間小於明文空間，則必然$|\mathcal{M}(c)|<|\mathcal{M}|$，進而，必然存在$m'\in\mathcal{M}$同時滿足$m'\not\in \mathcal{M}(c)$，即存在$m'\in\mathcal{M}$，使得$Pr[M=m'|C=c]=0$顯然，矛盾！

前言：僅個人小記。對絕對保密非常核心的理解我認爲是：絕對保密，即看到密文等價於沒有看到密文，在概率上就是後驗概率等於先驗概率，而後驗概率等於先驗概率就等價於兩個隨機變量獨立，而根據獨立，則可以非常直接的，避開一些推導，而得到一些很重要的性質，也非常有助於理解這些性質。

前要知識和約定

1. 明文空間$M$，密鑰空間$K$，密文空間$C$.
   $|M|$表示明文空間的大小，即明文的個數；$|K|$表示密鑰空間的大小，即密鑰的總個數；
2. 加密機制正確性，指的是，用給定的密鑰解密任意一個密文的時候，明文是唯一確定的。
3. 給定一個密鑰 k， 我們可以生成一張明文密文對照表，顯然所有的明文參與，同時同一張表中，爲了保持加密機制的正確性，必然所有的密文互相不同，即同一張明文密文對照表中不可能出現相同的密文。
4. 後驗概率等於先驗概率，就等價於兩個隨機量獨立（這裏是直接點出來的，將兩個東西聯繫了起來。雖然簡單，熟用之是非常重要的）$P(A=a|B=b)=P(A=a)$展開得到$\frac{P(A=a,B=b)}{P(B=b)}=P(A=a)$進而$P(A=a,B=b)=P(A=a)P(B=b)$ 這個等式成立，即說明隨機變量 A 和 B 相互獨立，即 $A\perp B$

簡要示例分析

分析

絕對保密(Perfectly Secure)，即密文不泄露任何有關明文的信息。概率上來講，就是後驗概率等於先驗概率，即$Pr[M=m|C=c]=Pr[M=m]$即拿到了密文 c 之後，對 M 的判斷沒有發生任何改變。

使用反證法：假如$|K|<|M|$，對於密文 c， 根據第3條知識，我們知道，在任意一張明文密文對照表中，c 最多隻能出現 1 次，而明文密文對照表總計有$|K|$張，記密文 c 對應的明文集合爲 $|M(c)|$，則必然 $|M(c)|\leq |K|$，又因爲 $|K|\leq|M|$，故而$|M(c)|\leq|M|$，故而必然，進而有$\exist m\in M,m\notin M(c),Pr[M=m|C=c]=0\neq Pr[M=m]$
進而打破了“後驗概率=先驗概率”這條規則，進而當$|K|<|M|$ 時，不可能是絕對保密的。