有限羣元素的階必然存在

前言：僅個人小記。即證明有限羣中的元素必然可以通過自乘達到幺元。

證明

對於有限羣 G， $\forall a\in G$，元素 a 的階都存在。元素自乘序列如下；$a,a^2,a^3,...$
因爲 G 是一個羣，所以根據封閉性必然有 $a^i \in G$又因爲羣 G 是有限的，所以必然有$a^i=a^j,i<j$進而$a^i=a^{j-i}a^i$又因爲 G 是羣，所以羣中元素都可逆，進而有$a^i(a^i)^{-1}=a^{j-i}a^i(a^i)^{-1}$進而$e=a^{j-i}$這一結果說明了有限羣 G 中的任意元素都可以通過自乘達到幺元 e，進而很容易知道任意元素 a 的階都是存在的。證畢！