牛頓恆等式 牛頓和

前言：僅個人小記。該恆等式推導邏輯非常簡潔。目標，求一個多項式的所有根的次冪和。比如多項式$P(x)=\Sigma_{i=0}^{n}a_i x^i$的根爲 $\alpha,\beta,...,\omega$，現在希望求得$P_k=\alpha^k+\beta^k+...+\omega^k$。牛頓給出了關於 $P_1,P_2,...,P_k$之間的一個恆等式，稱爲牛頓恆等式。

注意：只是假定了根，在假定根的基礎上推導出了$P_1,P_2,...,P_k$之間的關係，注意這個關係並不依賴於根值。

過程描述

多項式爲$P(x)=\Sigma_{i=0}^{n}a_i x^i$，該多項式的根爲根爲 $\alpha,\beta,...,\omega$【注意，這裏並沒有說是全部根】，記$P_k=\alpha^k+\beta^k+...+\omega^k$。

顯然，因爲 $\alpha,\beta,...,\omega$ 是$P(x)=\Sigma_{i=0}^{n}a_i x^i$的根，所以必然

$P(\alpha)=0\\ P(\beta)=0\\...\\P(\omega)=0$進而，必然有

$\alpha^{k-n}P(\alpha)=0\\\beta^{k-n}P(\beta)=0\\\omega^{k-n}P(\omega)=0$展開爲$\Sigma_{i=0}^{n}a_i\alpha^{i+k-n}=0\\\Sigma_{i=0}^{n}a_i\beta^{i+k-n}=0\\...\\\Sigma_{i=0}^{n}a_i\omega^{i+k-n}=0$對上述所有式子左右兩側累加得到，

$\Sigma_{i=0}^{n}a_i(\alpha^{i+k-n}+\beta^{i+k-n}+...+\omega^{i+k-n})=0$
進一步代入上面定義了的符號$P_k=\alpha^k+\beta^k+...+\omega^k$，則有

$\Sigma_{i=0}^{n}a_iP_{i+k-n}=0$即牛頓恆等式，進一步將其展開爲

$a_nP_{n+k-n}+a_{n-1}P_{n-1+k-n}+...+a_0P_{0+k-n}=0$即$a_nP_k+a_{n-1}P_{k-1}+...+a_0P_{k-n}=0,k-n\geq0$這就是我們平常見到的牛頓恆等式。

再次強調，上述的推導過程只是使用了假定的根，在這個基礎上推出了$P_1,P_2,...,P_k$ 之間的關係。

牛頓恆等式的使用示例

希望計算$P_k=\alpha^k + \beta^k+...+\omega^k$，顯然根據牛頓恆等式

$a_nP_k+a_{n-1}P_{k-1}+...+a_0P_{k-n}=0,k-n\geq 0$

只要計算出$P_{k-1},P_{k-2},...,P_{0}$即可，顯然這呈現出了一種遞歸的形態，遞歸的最深層就是求解$P_0$，而顯然$P_0=\alpha^0+\beta^0+...+\omega^0=1$，是一個確定值，所以遞歸必然可以終止，進而必然可以遞歸求解出目標$P_k$。