有限域的乘法羣一定是循環羣

前言：僅個人小記

暫先交代證明的基本思路：

因爲是有限域，所以必然是整環，所以必然無零因子，進而度公式必然滿足，即 $deg(fg)=deg(f)+deg(g)。

$x^n=1$的不同根最多有 n 個（可以結合度公式採用反證法進行說明），同時$x^{n-1}=1$的不同根最多隻有 n-1個。

又因爲 n 是羣的階，所以，必然乘法羣中 n 個不同的元素都滿足 $x^n-1=0$，所以 $x^n=1$ 有 n 個不同的根。

同時，$x^{n-1}=1$有 n-1 個不同的根，進而必然有一個元素不是 $x^{n-1}=1$的根，而又是$x^n=1$的根。

顯然這就意味着這個元素是一個階爲 n 的元素，即該元素是一個乘法羣的生成元，進而顯然該乘法羣爲循環羣。證畢！