Frobenius自同構

前言：僅個人小記。對於Frobenius自同構的討論，我們會理解任意有限域中的任意元素必然存在唯一的特徵次根。即有限域 F，特徵爲 p，則任意 F 中的元素必然存在唯一的 p 次根。同樣也告訴我們，對整個有限域 F 做p次冪，得到的結果仍然是 F。由Frobenius自同構引出的更重要的是不可約多項式的共軛根的形式關係，這裏對此不做討論。

前要知識：

1. $aj\equiv i\ mod\ n$，當$a\perp n$時,給定 i , a , n,則 j 有唯一解。

Frobenius 自同構

引入域$F$，域$F$的特徵爲$char(F)=p$，p爲素數。域的元素個數必然爲p的冪次方，記爲 $p^n$。相應的域中乘法羣的階爲$p^n-1$。

引入一個映射$\sigma$，定義爲

$\sigma:F\rightarrow F\\\alpha\rightarrow \alpha^p, \alpha\in F$稱映射$\sigma$爲Frobenius自同構。
下面證明$\sigma$是一個自同構映射。證明一個映射是同構的，即先證明其爲同態，然後證明其爲雙射。
證明同態：

$\sigma(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)^p=\alpha^p+\beta^p=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$所以滿足加法同態。

$\sigma(\alpha\beta)=(\alpha\beta)^p=\alpha^p\beta^p=\sigma(\alpha)\sigma(\beta)$所以滿足乘法同態。下面再證明該映射是一個雙射：
$\forall \beta\in F$，如果$\beta=x^p$有解，且解唯一，則證得$\sigma$爲雙射。
記域F的生成元爲 g。則

$\beta=x^p$寫作

$g^i=g^{jp}$進而

$i\equiv jp\ mod (p^n-1)$因爲 p 爲素數，所以必然有$p\perp(p^n-1)$進而 j 必然有唯一解。進而$\sigma$爲雙射。

綜上，$\sigma$是一個同構映射，又因爲映射兩側爲同一個集合F，故而成這個同構映射爲自同構。

基於Frobenius自同構討論映射形成的循環羣

引入一個集合$G=\{\sigma,\sigma^2,...,\sigma^n\}$。其中元素$\sigma$是一個域$F_{p^n}上的$Frobenius自同構。
顯然

$\sigma(\alpha)=\alpha^p,\sigma^2(\alpha)=\alpha^{p^2},...,\sigma^{n}(\alpha)=\alpha^{q^n},\alpha\in F_{p^n}$因爲$\alpha\in F_{p^n}$所以顯然有

$\alpha^{p^n}=\alpha^{p^n-1}\alpha=\alpha$進而$\sigma^n(\alpha)=\alpha^{p^n}=\alpha$即$\sigma^n是一個恆同映射$

下面證明G是循環羣，$\sigma$是羣G的生成元,G的羣階爲$|G|=n$。
顯然，因爲$\sigma^n$是恆同映射，所以

$\forall \sigma^i\in G,\sigma^n(\sigma^i(\alpha))=\sigma^i(\alpha)=\sigma^i(\sigma^n(\alpha))$所以$\sigma^n$是幺元。
證明封閉性，$\forall \sigma^i,\sigma^j\in G,\sigma^i(\sigma^j(\alpha))=\sigma^{i+j}(\alpha)=\sigma^{kn}\sigma^{(i+j)}(\alpha)=\sigma^{(i+j)mod\ n}(\alpha)\in G$故而滿足封閉性。
結合律顯然成立。
證明可逆，顯然

$\forall \sigma^i\in G,\sigma^{n-i}\in G,\sigma^i\sigma^{n-i}=\sigma^n=幺元$
至此，已經證明出G是一個羣。下面證明G是一個由$\sigma$生成的循環羣。
顯然，只需要證明$\sigma^i\neq1,0\leq i<n$不是幺元即可，採用反正法證明。假設$\sigma^i,0\leq i<n$是幺元。即

$\sigma^i(\alpha)=\alpha,0\leq i<n$則

$\alpha^{p^i}=\alpha,i<n$進而$\alpha^{p^i-1}=1,i<n$因爲$\alpha$具有任意性，即

$\forall \alpha,\alpha^{p^i-1}=1,i<n$故而$F_{p^n}$中的任意元素$\alpha$的階$o(\alpha)$滿足

$o(\alpha)\leq p^{i-1}$而$F_{p^n}$是域，所以必然有元素的階爲$p^{n}-1>p^i-1$進而矛盾，故而假設不成立，進而 G 是一個 n 階循環羣。

小結

顯然羣G很有特殊意義，即羣G和域$F_{p^n}$緊密關聯在一起。這是一個很精彩的羣。