計算不可約多項式的階

前言：僅個人小記。這裏直接討論不可約多項式，僅簡要交代計算不可約多項式的階基本方法。具體還是要枚舉。計算不可約多項式的階顯然有很多用處，其中一個就是可以根據不可約多項式的階來判定該多項式是否是一個本原多項式。

以例子作爲說明

計算$p(x)=x^4+x+1$在域$F_2$上的階。
記$p(x)$的階爲 v。
事實一：$p(x)|x^v-1$。
事實二：$v|q^d-1$。其中，q是域的特徵，d是$p(x)$的度。

根據以上兩個事實，顯然可以迅速降低枚舉次數。
即，因爲不可約多項式$p(x)$的階$v$得是一個$q^d-1$的因子。所以我們從小到大枚舉$q^d-1$的因子，然後將該因子值代入$v$，判斷是否$p(x)|x^v-1$成立，如果成立則結束，否則繼續枚舉下一個因子。