循環羣的子羣必然還是循環羣

前言：僅個人小記。我們知道羣中任意一個元素都可以通過自乘形成循環羣，但是循環羣的子羣難道也必然是循環羣嗎？也就是說循環羣的子羣也必然是由某個元素生成的循環羣？也就是說，循環羣的子羣只可能是那些由元素自乘生成的循環羣！
藉助拓展歐幾里得算法來實施證明。

前要知識

1. 有限羣的任意元素的階都是存在的，且元素的階必然整除羣階。

證明內容

循環羣的子羣必然還是循環羣。

證明

設循環羣 G , 生成元爲 g，羣階 $|G|=n$，因爲循環羣 G 中的任意一個元素都可以表達爲生成元的冪的形式，故而，若 H 爲 循環羣 G 的一個子羣，則必然可寫爲

$\{g^{k_1},g^{k_2},...,g^{k_m}\}，1<k_1<k_2<...<k_m\leq n$並引入

$d=min\{k_1,k_2,...,k_m\}$

因爲G是一個有限羣，結合前要知識1知道，G中的任一元素的階都存在，即任一元素都可以形成一個循環子羣。故而對於元素 $g^d$，必然可以形成循環子羣 $<g^d>$。

下面使用反證法：
假設 H 不是一個循環羣，則必然存在

$g^{k_i}\in H, g^{k_i} \notin <g^d>$故而

$k_i=qd+r,q,r 爲整數,0<r\leq d$又因爲 H 是羣，故而元素都可逆，容易知道$(g^d)^{-1}=g^{-d}$再因爲封閉性，有

$g^{-qd}g^{k_i}=g^{-qd}g^{qd+r}=g^r\in H$因爲 $d=min\{k_1,k_2,...,k_m\}$，$r<d$，故而矛盾，故而假設不成立，故而 G 的任意子羣 H 必然是一個循環羣。