gym 102056 J Philosophical … Balance (SAM)

題意

小B有一個串s，小A可以設定自己選取s後綴串的概率，使得小B拿出s串的後綴使得$s_a$和$s_b$的lcp的期望最小，問小A設置方案中最大可能期望是多少。

題解

首先將s的反串丟入SAM中，建立出後綴樹，可以發現一個規律爲兩結點的lcp即位他們兩的lca結點的len，因此可以將該問題想象成樹的合併
設val[i]代表i點爲根的子樹期望最小最大值是多少
考慮一顆子樹中如何找到答案所需的最小期望最大，可以發現假如該子樹的根爲np結點，那麼小B將串選爲其根部會使得答案最小（子樹中的其他點兩兩的lcp一定大於根節點的len）因此小A爲了最大期望只需要將選取的根節點的概率調到1則是最優的。
若該點不爲np結點，則考慮子樹的合併
首先可以確定小B選取其中一顆子樹的對於小A來說期望最大值爲p[v]*val[v]+(1-p[v])*len[u]
對於每個子樹都可以求出其最大值，之後小B會在其中選中最小的那個子樹最爲答案，因此可以想到，當每個子樹的期望最大值都一樣的時候，對於該結點爲根的期望最小值是最大的，因此我們可以通過簡單的化簡和解方程算出p[i]的值，並更新val[u]
最後只要輸出val[root]即爲答案

代碼

/**
 *     author:     TelmaZzzz
 *     create:     2019-09-26-12.45.34
**/
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <ctime>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
//#include <random>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
void _R(int &x) { scanf("%d", &x); }
void _R(ll &x) { scanf("%lld", &x); }
void _R(db &x) { scanf("%lf", &x); }
void _R(char &x) { scanf(" %c", &x); }
void _R(char *x) { scanf("%s", x+1); }
void R() {}
template<class T, class... U> void R(T &head, U &... tail) { _R(head); R(tail...); }
void _W(const int &x) { printf("%d", x); }
void _W(const ll &x) { printf("%lld", x); }
void _W(const db &x) { printf("%.16f", x); }
void _W(const char &x) { putchar(x); }
void _W(const char *x) { printf("%s", x); }
template<class T> void _W(const vector<T> &x) { for (auto i = x.begin(); i != x.end(); _W(*i++)) if (i != x.cbegin()) putchar(' '); }
void W() {}
template<class T, class... U> void W(const T &head, const U &... tail) { _W(head); putchar(sizeof...(tail) ? ' ' : '\n'); W(tail...); }
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define erp(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define INF 1073741824
#define inf 1152921504606846976
#define pi 3.14159265358979323846
#define Fi first
#define Se second
//#pragma comment(linker,"/STACK:10240000,10240000")
//mt19937 rand_(time(0));
const int N=5e5+7,M=2e6;
const long long mod=1e9+7;
inline int read(){int ret=0;char ch=getchar();bool f=1;for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f^=!(ch^'-');for(;isdigit(ch);ch=getchar()) ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-48;return f?ret:-ret;}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll ksm(ll a,ll b,ll mod){int ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans;}
ll inv2(ll a,ll mod){return ksm(a,mod-2,mod);}//ÄæÔª
int head[N],NEXT[M],ver[M],TOT;void link(int u,int v){ver[++TOT]=v;NEXT[TOT]=head[u];head[u]=TOT;}
void TelmaZzzz(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.txt","r",stdin);
#endif
}
const int S=27;
int tot=1,last=1,pre[N<<1],son[N<<1][S],ml[N<<1],cnt[N<<1],firstpos[N<<1];
bool mark[N<<1];
db val[N<<1];
int newnode(){
    tot++;
    rep(i,0,25) son[tot][i]=0;
    firstpos[tot]=0;
    cnt[tot]=0;
    ml[tot]=0;
    mark[tot]=false;
    pre[tot]=0;
    return tot;
}
void extend(int w){
    int p=newnode(),x=last,r,q;
    cnt[tot]=1;
    mark[tot]=true;
    for(ml[last=p]=ml[x]+1;x&&!son[x][w];x=pre[x]) son[x][w]=p;
    firstpos[tot]=ml[tot]-1;
    if(!x) pre[p]=1;
    else if(ml[x]+1==ml[q=son[x][w]]) pre[p]=q;
    else {
        pre[r=newnode()]=pre[q];
        cnt[tot]=0;
        memcpy(son[r],son[q],sizeof son[r]);
        ml[r]=ml[x]+1;pre[p]=pre[q]=r;
        for(;x&&son[x][w]==q;x=pre[x]) son[x][w]=r;
        firstpos[r]=firstpos[q];
    }
}
char str[N];
void dfs(int x){
    if(mark[x]){
        val[x]=1.0*ml[x];
        return ;
    }
    db sum=1.0;
    db num=0.0;
    for(int i=head[x];i;i=NEXT[i]){
        int y=ver[i];
        dfs(y);
        sum*=(val[y]-ml[x]);
    }
    for(int i=head[x];i;i=NEXT[i]){
        int y=ver[i];
        num+=sum/(val[y]-ml[x]);
    }
    val[x]=sum/num+ml[x];
}
int main(){
    TelmaZzzz();
    //ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    R(t);
    while(t--){
        R(str);
        int n=strlen(str+1);
        last=1;
        tot=0;
        TOT=1;
        newnode();
        erp(i,n,1){
            extend(str[i]-'a');
        }
        rep(i,2,tot){
            link(pre[i],i);
            //cout<<pre[i]<<' '<<i<<' '<<ml[i]<<endl;
        }
        dfs(1);
//        rep(i,1,tot) cout<<val[i]<<' ';
//        cout<<endl;
        printf("%.20f\n",val[1]);
        rep(i,1,tot) head[i]=0,val[i]=0.0;

    }
    //cout << "time: " << (long long)clock() * 1000 / CLOCKS_PER_SEC << " ms" << endl;
    return 0;
}