（三）流體運動學（質量守恆）

（一）流體運動學的分類

穩定流動和不穩定流動

根據流場中每一空間點上的運動參數是否隨着時間的變化而變化判斷。

穩定流動僅僅是位置座標的函數，運動參數不隨着時間的變化而變化。

分析：保持水箱中水位不變，水從孔口流出的速度就不會隨時間改變，屬於穩定流動；如果關閉水箱進水閥門，水箱內水位將不斷下降，此時水從孔口流出的流速就會隨水面的降低而逐漸減小，即隨時間而改變，這就是非穩定流動。

均勻流動和非均勻流動

流體流動過程中，如果所有的物理量均不隨着空間點座標的變化而變，稱爲均勻流動；反之，爲非均勻流動。均勻流動的流線是相互平行的直線，非均勻流動的流線是曲線或者不相互平行的直線。

區分穩定流動和均勻流動

垂直於流線方向用多個平面去切割，如果平面內的運動參數一樣，則可證明是均勻流動。穩定流動不一定是均勻流動。但是均勻流動一定是穩定流動。

一維、二維、三維流動

在設定座標系的時候，有關物理量依賴於一個座標，稱爲一維流動；依賴兩個座標，稱爲二維流動；依賴三個座標稱爲三維流動。

（二）跡線、流線

跡線：流體質點在空間運動時的軌跡線。它表達的是流體質點在不同時刻的空間位置。

流線：在某一瞬時流場中假想的一組曲線，曲線上每一點的切線與速度矢量相互重合。

根據流線的定義可以推出流線的微分方程：空間點的速度和流線相切，也就是空間點的速度矢量與流線上微元弧矢量ds的矢量積爲0。

即： $\vec{v}*d\vec{s}=0$

有因爲： $\vec{v}*d\vec{s}=(v_{y}dz-v_{z}dy)\vec{i}+(v_{z}dx-v_{x}dz)\vec{j}+(v_{x}dy-v_{y}dx)\vec{k}$

所以： $\left\{\begin{matrix} v_{y}dz- v_{z}dy=0&v_{z}dx- v_{x}dz=0 & v_{x}dy- v_{y}dx=0 \end{matrix}\right.$

流線的微分方程： $\frac{dx}{v_{x}}=\frac{dy}{v_{y}}=\frac{dz}{v_{z}}$

流線的性質

在某一時刻，通過流場中某一點只能做一條流線。流線不能轉折，也不能彼此相交，因爲在空間中每一點只能有一個速度方向。

流線在速度爲0的駐點或者速度爲無窮大的奇點處可以相交。

在穩定流動中流線和跡線爲同一條曲線。

在流場中過空間每一點都有一條流線，所有的流線組成流線簇。由流線簇構成的圖形，稱爲流譜。

流譜不僅可以反映出流體速度的方向還能反應出流速的大小。流線較密集的地方速度大，流線稀疏的地方速度小。

緩變流和急變流

緩變流是指流線之間的夾角比較小或者流線曲率半徑比較大的流動。相反，急變流是指流線之間的夾角比較大和流線的曲率半徑比較小的流動。

有效斷面

指流束或總流上垂直流線的斷面。有效斷面可能是平面，也可能是曲面。

流管、流束、總流

流管：在流場中任取一條非流線的封閉曲邊，通過此曲線上的每一點做某一瞬時的流線，由這些流線所構成的管狀曲面稱爲流管。由流線的定義可以知道，位於流管表面上的各個流體質點的速度和流管表面相切，沒有其法向速度分量，因爲流體質點不穿越流體壁。

流束：當封閉曲線所包圍的面積無限小的時候，充滿微小流管內的流體稱爲元流或者微小流束。

總流：當封閉曲線取在運動流體的邊界上時，則充滿流管內的流體稱爲總流。

流量、平均流速、水力半徑

流量：單位時間內通過過流斷面的流體量。

流體量可以用體積、質量表示，其相應的流量分別叫做體積流量和質量流量。

對於元流，由於過流斷面dA非常小，可近似認爲元流過流斷面上各點的流速在同一時刻是相同的，因此元流的流量爲dq=vdA。v爲點速度。

總流的流量爲： $q=\int vdA$

斷面平均流速：作爲一維流動，常採用斷面平均速度值代替各點的實際流速，稱爲斷面平均流速。斷面平均流速是體積流量和過流斷面面積之比，即：

$\bar{v}=\frac{q}{A}=\frac{\int udA}{A}$

水力半徑

在總流的過流斷面上與流體相接觸的固體邊壁軸承稱爲溼周，用 $\chi$ 表示。總流過流斷面面積與溼周 $\chi$ 之比稱爲水力半徑R，即： $R=\frac{A}{\chi }$

（三）研究流體運動的兩種方法

拉格朗日法
歐拉法

拉格朗日法

拉格朗日法主要研究流體質點，跟蹤流體質點的運動全過程及描述運動過程中各質點、各物理量隨着時間變化的規律。又稱爲軌跡法。通常以流體質點的初始座標點作爲區別不同的流體質點的標誌。假設t0時刻流體質點的座標值爲（a,b,c）.

流體質點的空間位置、密度、壓強和溫度可以表示爲：

$\left\{\begin{matrix} \vec{r}=\vec{r}(a,b,c,t)\\ \rho=\rho (a,b,c,t) \\ p=p (a,b,c,t) \\T=T(a,b,c,t) \end{matrix}\right.$

流體質點速度

$\left\{\begin{matrix} v_{x}=\frac{\partial x(a,b,c,t)}{\partial t}\\ v_{y}=\frac{\partial y(a,b,c,t)}{\partial t} \\ v_{z}=\frac{\partial z(a,b,c,t)}{\partial t} \end{matrix}\right.$

流體質點加速度

$\left\{\begin{matrix} a_{x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}x(a,b,c,t)}{\partial t^{2}}\\ a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}y(a,b,c,t)}{\partial t^{2}} \\ a_{z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{\partial ^{2}z(a,b,c,t)}{\partial t^{2}} \end{matrix}\right.$

歐拉法

歐拉法的出發點不是流體的質點，而是空間中的點。歐拉法是設法在空間的每一點上描述出流體運動參數隨時間的變化情況。觀測先後流過各空間點的各質點的物理量變化情況便能夠了解整個或者部分流暢的運動情況，又稱爲空間點法或者流場法。

由歐拉法可知，各物理量是空間點x,y,z,t的函數。所以速度、密度、壓強和溫度可以表示爲：

$\left\{\begin{matrix} \vec{v}=\vec{v}(x,y,z,t)\\ \rho=\rho (x,y,z,t) \\ p=p (x,y,z,t) \\T=T(x,y,z,t) \end{matrix}\right.$

加速度

$\left\{\begin{matrix} a_{x}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}=\frac{\partial v_{x} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z} \\ a_{y}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=\frac{\partial v_{y} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{y}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{y}}{\partial z} \\a_{z}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{\partial v_{z} }{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{z}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{matrix}\right.$

右端左側第一項稱爲時變加速度，表示某空間定點處流體質點速度變化率；

右端的後三項稱爲位變加速度，表示由於流體質點所在的空間位置變化而引起的速度變化率。

拉格朗日法和歐拉法的比較

**拉格朗日法和歐拉法的比較**
拉格朗日法	歐拉法
分別描述有限質點的軌跡	同時描述所有質點的瞬時參數
表達式複雜	表達式簡單
不能直接反應參數的空間分佈	直接反應參數的空間分佈
不適合描述流體微元的運動變形特徵	適合描述流體微元的運動變形特徵
拉格朗日觀點是重要的	流體力學最常用的解析方法

（四）連續性方程

連續性方程是質量守恆定量在流體力學中的具體表達式。

三維流動連續性方程

假定流體連續的充滿整個流場，從中任意選擇一小塊流體微元六面體，控制體的邊長爲dx，dy，dz。

設流體微元中心處的流速分量爲 $v_{x},v_{y},v_{z}$ ,液體的密度爲 $\rho$ 。那麼通過控制體前表面中心點M的質點在x方向的分速度爲：

$v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx$

通過後表面中心點N的質點在x方向上的分速度爲：

$v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}dx$

單位時間內沿着x軸方向流入控制體的質量爲：

$[\rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz$

單位時間內沿着x軸方向流出控制體的質量爲：

$[\rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz$

單位時間內在x軸方向流出和流出控制體的質量差爲

$[\rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz-[\rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dx]dydz=\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dxdydz$

同理在單位時間內沿y，z方向流出與流入的控制體的質量差爲：

$\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}dxdydz,\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}dxdydz$

根據連續介質假設，並根據質量守恆原理可知：單位時間內流出與流入控制體的質量差的總和應該等於六面體在單位時間內質量的減少量。

$\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}dxdydz+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}dxdydz+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}dxdydz=[\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}]dxdydz=-\frac{\partial\rho }{\partial t}dxdydz$

整理得： $\frac{\partial (\rho v_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_{z})}{\partial z}+\frac{\partial\rho }{\partial t}=0$