DTOJ 4751. 女裝

題意

原題題目：生而爲人的目的是體驗生活百態，所以每個男孩的衣櫃裏都應該偷偷藏一套女裝

由於小A女裝的慾望日益強烈，並且他進隊的機率日益提升，已經到了 $99.99999...（2511154個9）\%$，所以AlseoR提議準備給小A一個驚喜。機房人民集資買了 $n$ 件衣服，編號爲 $1$ 的衣服是小A最喜歡的女裝。

小A擺放物品時有個習慣，不喜歡打亂原先物品的位置，因此小A家的衣櫃只能從兩側打開，可以從左邊放衣服進去也可以從右邊放衣服進去，並且會把之前已經在衣櫃裏的衣服往中間擠。比如衣櫃裏面已經有 $1,2,3$ 三件衣服了，現在從左邊放一件 $4$ 號衣服進去就變成了 $4,1,2,3$，在右邊放一件 $5$ 號女裝就變成了$4,1,2,3,5$ 。現在AlseoR帶着機房人民集資爲小A買的n件衣服潛入了小A的家，將衣服按編號從小到大放進衣櫃，每次可以任意選擇左側或者右側放入。

但是小A作爲一個強迫症，他希望可以存在一種方式從衣櫃兩側不斷取出衣服（取完爲止），每次可以任意選擇將左側的衣服或者右側的取出，第 $K$ 件可以取出女裝。所以他想問問你方案的總數。由於小A不知道衣櫃裏面的衣服是怎麼擺放的，所以他只關心取出的順序。即對於兩個方案不同，當且僅當存在一個 $x$ ,兩個方案取出的第 $x$ 件衣服編號是不同的。當然這個數可能很大，所以小A決定從他最喜歡的三個數中選一個給你當模數。

數據編號	$N,M$	$T\le$	$Mod=$
1	10	10	19260817
2	10	10	698786049962
3	5000	5000	698786049962
4	5000	5000	325497727
5	5000	5000	325497727
6	$10^6$	$10^4$	19260817
7	$10^9$	$10^4$	19260817
8	$10^9$	$10^4$	325497727
9	$10^9$	$10^4$	698786049962
10	$10^9$	$10^4$	698786049962

題解

直觀地考慮取出衣服的過程：一開始兩端有一段是$n$，如果取出$n$就轉化爲$n-1$的問題，否則如果取出的另一端是$x$，那麼$x+1,...,n$按照從裏到外排列在另一端，即下一次取或者取$n$，或者取的數$<x$。於是考慮DP：設$f[i][j][k]$爲$1…i$中後面j個數不能取（i除外），取了$k$次的方案數，答案即爲$f[n][1][k-1]*2^{max(n-k-1,0)}$。
前綴和優化轉移是$O(n^{3})$的，但發現$f[i][j][k]$由$f[i-1][x][k-1]$轉移過來，且轉移過程類似於作後綴和。由此想到組合意義，畫成路徑可發現$f[n][1][k-1]=C(k+n-2,k-1)-C(k+n-2,n)$。
此處必須吐槽一下部分分，沒有給樸素的DP應有的分，必須化成組合意義纔有分，而3,4,5三個點又誤導人往$O(n^{2})$去想（實際上是方便求組合數），令選手十分自閉（雖然本質上是我弱智，沒有及時發現比較顯然的轉移規律）。
後面就是$exlucas$了，不會數論的我強行yy了一下，想錯了好幾次調了半天。大概就是把$P$唯一分解，求出$n!\% p_i^{k_i}$的值後$crt$合併一下。求$n!\% p_i^{k_i}$的時候，先把$n!$中$p$的倍數提出來，把它們各提取一個$p$後遞歸下去算剩下的值，剩下不是$p$的倍數的數可以按照$p^{k}$分爲若干段，因爲這裏的$p$對應的$p^k$不會很大，直接預處理即可。