OTOJ 4863. 矩陣

題意

有一個$N$行$M$列的矩陣，你可以選擇一些位置塗黑，其它位置塗白。

對一個矩陣，我們計算出一個長度爲$N$的序列$A$,以及兩個長度爲$M$的序列$B$和$C$：

令$A_i$爲第$i$行第一次出現黑色的位置的列號，如果第$i$行全白，則爲$M+1$;

令$B_i$爲第$i$列第一次出現黑色的位置的行號，如果第$i$列全白，則爲$N+1$;

令$C_i$爲第$i$列最後一次出現黑色的位置的行號，如果第$i$列全白，則爲$0$;

請你計算，有多少種不同的$\{A,B,C\}$三元組可能得到，輸出答案對$998244353$取模後的結果。

對於$20\%$的數據，$1 \leq N \leq 6$,$1 \leq M \leq 3$;

對於$50\%$的數據，$1 \leq N \leq 200$,$1 \leq M \leq 200$;

對於額外$5\%$的數據,保證$M=1$；

對於額外$15\%$的數據,$1 \leq N \leq 2000$,$1 \leq M \leq 3$；

對於$100\%$的數據，保證$1 \leq N \leq 8000$,$1 \leq M \leq 200$。

題解

由於列的限制比較複雜，依次考慮每一列，對於新的一列，這列會有一些黑格子是它所在行的第一個黑格子，如果直接考慮這個方案，還需要知道每行是否出現過，不太能做。

對沒有出現過黑格子的行先不考慮，對於新增的行考慮插到原來的行之間，枚舉插完後的兩個端點，乘上一些組合數即可。發現這個組合數可以通過楊輝三角的關係轉爲一個組合數，$ntt$優化即可。