DTOJ 4875. 西行寺無餘涅槃

題意

西行寺幽幽子(Saigyouji Yuyuko)是白玉樓的大小姐

幽幽子餓了，廚子妖夢準備了 $k$ 類菜，第 $i$ 類菜有 $a_i$ 種

幽幽子有 $n$ 個用餐計劃，每個計劃中幽幽子會選擇一類菜中的一種喫掉，並獲得一定的美味值

具體來說，如果幽幽子在第 $i$ 次進食中選擇了第 $j$ 類菜，那麼會獲得的美味值

幽幽子最後獲得的美味值是每次進食的美味值的異或和

幽幽子想嘗試所有不同的美味值，所以她希望知道，對於每個 $x \in [0,2^m-1]$,最後得到的美味值爲 $x$ 的方案數是多少

答案可能很大，你只需要求出答案對 $998244353$ 取模之後的結果

對於所有的數據，$m + k \le 20,k \le 10,0 \le p_{i,j} \le 2^m − 1, 0 \le a_i< 998244353$

測試點編號	$n \le$	$m \le$	$k\le$
1	$10^6$	19	1
2~3	$10^3$	10	10
4	$10^6$	14	2
5	$10^6$	16	2
6	$10^6$	18	2
7	$10^6$	10	3
8	$10^6$	14	3
9	$10^6$	17	3
10	$5 \times 10^5$	12	4
11	$5 \times 10^5$	16	4
12	$5 \times 10^5$	10	5
13	$5 \times 10^5$	15	5
14	$2 \times 10^5$	8	6
15	$2 \times 10^5$	14	6
16	$2 \times 10^5$	6	7
17	$2 \times 10^5$	13	7
18	$10^5$	4	8
19	$10^5$	12	8
20	$10^5$	11	9

題解

直觀的想法是把每個用餐計劃看作一個$2^m$的多項式，對它們分別求$FWT$之後對應位相乘，再求$IFWT$。

但這樣效率不行，考慮如何對每一位較快地求出所有用餐計劃的$FWT$該位的值的乘積。由$FWT$的定義發現每一位的值只有$2^{k}$種情況，考慮計算每一種情況的個數。

枚舉$k$類菜的每一個非空子集，在每個用餐計劃中把對應位置下標異或起來的下標對應的值設爲$1$，把這$n$個加起來做一遍$FWT$，可以得到一個關於每種情況個數的方程。這$2^k-1$個方程在加上所有情況和=n就形成$2^k$個方程和$2^k$個未知數，又發現這些方程的形式與$FWT$很像，即對每個方程的右邊一起構成的多項式做$IFWT$即可求出每個未知數。