FWT 學習筆記

概念

類似多項式卷積，把下標相加換成下標做位運算，同樣可以在$O(nlogn)$的效率內求出。

思想

或和與比較簡單，重點考慮異或。

對於異或卷積，構造$FWT(A)[i]=\sum_{j=0}^{2^n-1}{(-1)^{bitcount(i and j)}}$。

如果已知$A$，我們可以用遞歸的方式計算$FWT(A):FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))$，其中$A_0$和$A_1$分別表示$A$的前$2^{n-1}$位和後$2^{n-1}$位，效率$O(nlogn)$。

可以利用上面式子，用歸納法證明$FWT(A xor B)=FWT(A) \times FWT(B)$。

於是我們只需要對$A，B$分別做$FWT$，把對應位置相乘，即可得到$FWT(A xor B)$，剩下的問題是如何把它變爲原來的$(A xor B)$。

還是考慮遞歸，把上面的式子逆過來得到
$IFWT(A)=((IFWT(A_0)+IFWT(A_1))/2,(IFWT(A_0)-IFWT(A_1))/2)$
同樣可以在$O(nlogn)$時間內算出。

例題

DTOJ 4875. 西行寺無餘涅槃