【題解】「USACO 2007 Jan」Balanced Lineup（ST表）

題面

【題目描述】
農夫 $John$ 的$N(1 <= N <= 50,000)$頭牛總是按同一序列排隊. 有一天,$John$ 決定讓一些牛們玩一場飛盤比賽. 他準備找一羣在隊列中位置連續的牛來進行比賽. 但是爲了避免水平懸殊,牛的身高不應該相差太大. $John$準備了$Q (1 <= Q <= 180,000)$個可能的牛的選擇和所有牛的身高 ($1 <=$身高$<= 1,000,000$). 他想知道每一組裏面最高和最低的牛的身高差別.
【輸入】
第$1$行：$N,Q$
第$2$到$N+1$行：每頭牛的身高
第$N+2$到$N+Q+1$行：兩個整數$A$和$B$，表示從$A$到$B$的所有牛。（$1<=A<=B<=N$）
【輸出】
輸出每行一個數，爲最大數與最小數的差
【樣例輸入】

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

【樣例輸出】

6
3
0

算法分析

ST表模板題目。
a數組表示N頭牛的身高。
$f[i][j]$：表示序列$a[i]$開始，連續$2^j$個數的最大值。
$s[i][j]$：表示序列$a[i]$開始，連續$2^j$個數的最小值。
狀態轉移方程：
$f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])$
$s[i][j]=minx(s[i][j-1],s[i+2^{j-1}][j-1])$

詢問區間$a[x]$ ~ $a[y]$最大、小值？
找到一個$k$，使得$[x , x+2^k-1 ]∪[ y-2^k+1 , y]=[x,y]$
需要滿足：$2^k<=y-x+1$
取 $k=log_2(y-x+1)$
區間$[x,y]$最大值=$max( f[x][k], f[y-2^k-1][k] )$
區間$[x,y]$最小值=$min( s[x][k], s[y-2^k-1][k] )$

參考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int f[N][25],s[N][25];
int n,m,x,y;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&f[i][0]);
        s[i][0]=f[i][0];		//初始化
    }
         
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            s[i][j]=min(s[i][j-1],s[i+(1<<(j-1))][j-1]); 
        }
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int k=log(y-x+1)/log(2);
        printf("%d\n",max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k])-min(s[x][k],s[y-(1<<k)+1][k]));
    } 
    return 0;
}