16. 排序--簡單排序

排序

方法模板

void X_Sort(ElementType[] A, int N)

• 大多數情況下，爲簡單起見，討論從小到大的整數排序
• N是正整數，表示數組的長度

前提

• 只討論基於比較的排序（例如通過 > = < 進行比較）
• 只討論內部排序（所有數據加載入內存中）
• 穩定性：任意兩個相等的數據，排序前後的相對位置不發生改變
• 沒有一種排序是任何情況下都表現最好的

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簡單排序

冒泡排序

算法原理

從後往前開始遍歷：

1. 比較相鄰的兩個元素，如果第二個元素比第一個元素小，則進行交換
2. 從開始一對到最後一對，對每一對相鄰元素做2的工作。這步操作完成後，最後的元素應該是最大的元素
3. 重複以上步驟，直到倒數第一個元素（最後一個元素不參與上述循環）
4. 持續每次對越來越少的元素重複以上的步驟，直到沒有任何一對元素需要比較

實現

void Bubble_Sort(ElementType[] A, int N) {
    for (P = N - 1; P >= 0; P--) {
        flag = 0;           // 用於標識這趟冒泡過程是否進行了元素的交換
        for (i = 0; i < P; i++) {   // 一趟冒泡過程
            if (A[i] > A[i + 1])  {
                Swap(A[i], A[i + 1]);
                flag = 1;   // 標識元素進行了交換
            }
        }

        if (flag == 0)  // 全程無交換，說明數組已經有序了，不需要再進行排序了
            break;
    }
}

• 時間複雜度：
  
  • 最好情況：已經順序排好，T=O(N)
  • 最壞情況：逆序排好，T=O(N2)
• 穩定性：基於A[i] > A[i + 1]的判斷方式，該冒泡排序是穩定的
• 冒泡排序可以處理單向鏈表的排序

插入排序

算法原理

從第二個元素遍歷到最後一個元素：
1. 記錄當前元素爲temp
2. 從當前位置向前遍歷，如果前一個元素大於temp，則把下個元素後移，直到前一個個元素小於或等於temp
3. 把temp置於空出來的位置

實現

void Insertion_Sort(ElementType[] A, int N) {
    for (P = 1; P < N; P++) {
        temp = A[P];    // 記錄要比較的元素
        for (i = P; i > 0 && A[i - 1] > temp; i--)
            A[i] = A[i - 1];    // 向後移動元素，空出空位

        A[i] = temp;    // 元素置於空位
    }
}

• 時間複雜度：
  
  • 最好情況：已經順序排好，T=O(N)
  • 最壞情況：逆序排好，T=O(N2)
• 穩定性：基於A[i - 1] > temp的判斷方式，該插入排序是穩定的

時間複雜度下界

逆序對

對於下標i<j ，如果A[i] > A[j]，則稱<i,j> 是一對逆序對（inversion）

• 定理：任意N 個不同元素組成的序列平均具有N(N−1)/4 個逆序對

逆序對與排序

對於冒泡、插入排序：

• 交換2個相鄰元素正好消去1個逆序對
• 有n 個逆序對，則需要交換n 次元素
• 插入排序：T(N,I)=O(N+I) ，N 是元素的個數，I 是逆序對的個數
  
  • 如果序列基本有序，則插入排序簡單且高效

對於排序：

• 定理：任何僅以交換相鄰兩元素來排序的算法，其平均時間複雜度爲Ω(N2)
• 如果要提高算法效率，必須
  
  • 每次消去不止1個逆序對
  • 每次交換相隔較遠的2個元素