13. 圖--最短路徑問題

最短路徑問題

問題抽象

在網絡中，求兩個不同頂點之間的所有路徑中，邊的權值之和最小的那一條路徑

• 這條路徑就是兩點之間的最短路徑（Shortest Path）
• 第一個頂點爲源點（Source）
• 最後一個頂點爲終點（Destination）

問題分類

• 單源最短路徑問題：從某固定源出發，求其到所有其他頂點的最短路徑
  
  • （有向）無權圖
  • （有向）有權圖
• 多源最短路徑問題：求任意兩頂點間的最短路徑

單源最短路算法

無權圖

按照路徑長度遞增（非遞減）的順序找出到各個頂點的最短路（遍歷方式跟BFS類似）

實現

• dist[W] : 源點S 到頂點W 的最短距離
  
  • dist[S]：源點S 到源點S 的距離初始化爲0
  • 其他的dist[W]可以被初始化爲正無窮、負無窮以及-1（算法中採用初始化爲-1）
• path[W]：源點S 到頂點W 的路上經過的某頂點
  
  • 獲取源點S 到頂點W 的路徑：從W 開始去反向遍歷到S 即可獲取到反向的路徑，再由棧進行正向的處理即可

void Unweighted(Vertex S) {
    Enqueue(S, Q);

    while (!IsEmpty(Q)) {
        V = Dequeue(Q);

        for (V 的每個鄰接點 W) {
            if (dist[W] == -1) { // 說明還沒有訪問過
                dist[W] = dist[V] + 1;  // 爲上一個頂點的距離+1
                path[W] = V;        // 記錄爲上一個頂點
                Enqueue(W, Q);
            }
        }
    }
}

若有N個頂點、E條邊，時間複雜度是

• 用鄰接表存儲圖，爲O(N+E)
• 用鄰接矩陣存儲圖，爲O(N2)

有權圖

按照路徑長度遞增（非遞減）的順序找出到各個頂點的最短

Dijkstra 算法用於解決有權圖的單源最短路問題。但是不能解決有負邊的情況

Dijkstra 算法

• 令S={ 源點s +  已經確定了最短路徑的頂點vi}
• 對任一爲收錄的頂點v ，定義dist[v]爲源點s 到v 的最短路徑長度，但該路徑僅經過集合S 中的頂點。即路徑{s→(vi∈S)→v} 的最小長度
• 若路徑是按照遞增（非遞減）的順序生成的，則
  
  • 真正的最短路必須只經過集合S 中的頂點
  • 每次從未收錄的頂點中選一個dist最小的收錄（貪心）
  • 增加一個v 進入集合S ，可能影響另外一個鄰接點w 的dist值
    
    • 如果收錄v 使得源點s 到w 的路徑變短，那麼s 到w 的路徑一定經過v ，且v 到w 有一條邊
    • dist[w]=min{dist[w],dist[v]+<v,w> 的權重}

實現

• collected[v]：記錄頂點v 是否被收錄
• dist[W] : 源點s 到頂點w 的最短距離
  
  • dist[S]：源點s 到源點s 的距離初始化爲0
  • 其他的dist[W]這裏被初始化爲正無窮
• path[W]：源點s 到頂點w 的路上經過的某頂點
  
  • 獲取源點s 到頂點w 的路徑：從w 開始去反向遍歷到s 即可獲取到反向的路徑，再由棧進行正向的處理即可

void Dijkstra(Vertex s) {
    while (true) {
        V = 未收錄頂點中dist最小者;
        if ( 這樣的V不存在 )
            break;

        collected[V] = true;
        for ( V 的每個鄰接點 W) {
            if(!collected[W] && dist[V] + E<V, W> < dist[W]) {
                dist[W] = dist[V] + E<V, W>;
                path[W] = V;
            }
        }
    }
}

若有N個頂點、E條邊，根據尋找未收錄頂點中dist最小者的方式來決定，時間複雜度是

• 方法1，更適用與稠密圖
  
  • 直接掃描所有未收錄頂點：O(N)
  • 最終的時間複雜度：T=O(N2+E)
• 方法2，更適用於稀疏圖
  
  • 將dist存在最小堆中：O(logN)
  • 更新dist[w]的值：O(logN)
  • 最終的時間複雜度：T=O(NlogN+ElogN)=O(ElogN)

多源最短路算法

若有N個頂點、E條邊：
* 方法1：直接將單源最短路算法調用N 遍，時間複雜度爲T=O(N3+NE) ，適合稀疏圖
* 方法2：Floyd算法，時間複雜度爲O(N3) ，適合稠密圖

Floyd算法

• Dk[i][j]= 路徑{i→{l≤k}→j} 的最小長度
• D0,D1,...,DV−1[i][j] 即給出了i 到j 的真正最短距離
• D−1 被初始化爲帶權鄰接矩陣，對角元爲0，頂點之間沒有直接的邊相連則值初始化爲正無窮大
• 當Dk−1 已經完成，遞推到Dk 時：
  
  • 如果k∉ 最短路徑{i→{l≤k}→j} ，則Dk=Dk−1
  • 如果k∈ 最短路徑{i→{l≤k}→j} ，則該路徑必定由兩段最短路徑組成：Dk[i][j]=Dk−1[i][k]+Dk−1[k][j]

實現

void Floyd() {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++)
        for (j = 0; j < N; j++) {
            D[i][j] = G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }

    for (k = 0; k < N; k++) 
        for (i = 0; i < N; i++)
            for (j = 0; j < N; j++) 
                if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    path[i][j] = k;
                }

}

如果需要求出最短路徑經過哪些點，通過path數組進行遞歸求解即可