01揹包
問題
n個物品重量爲wi,價值爲vi 從裏面挑取總質量和<=W的物品,求最大的價值。
思路
枚舉最後一個物品是否被選。 狀態dp[i][j] 在前i個物品裏面揹包大小爲j下的最大價值。
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w[i]]+v[i])
完全揹包
問題
n種物品重量爲wi,價值爲vi 從裏面挑取總質量和<=W的物品,求最大的價值。
思路
枚舉最後一個物品被選擇的數量
0→很大 。 dp[i][j]定義同上, 則
dp[i+1][j]=MAXk>=0(dp[i][j−k∗w[i]]+k∗v[i])
優化
試圖消去k,這樣的話就能消去一維
dp[i + 1][j]
= MAX_{k>=0}(dp[i][j - k * w[i]] + k * v[i])
= dp[i][j], MAX_{k>=1}(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i])
=dp[i][j], MAX_{k>=1}(dp[i][j-w[i]- (k-1) * w[i]] + k * v[i])
//t = k-1
=dp[i][j],MAX_{t>=0}(dp[i][j-w[i]-t*w[i]] + t*v[i]) + v[i]
=dp[i][j],dp[i + 1][j-w[i]] + v[i]