【DP】【斜率】滑雪場的纜車

$Link$

$JZOJ$ $1257$

$Description$

科羅拉州的Farmer Ron打算爲他的奶牛們建造一個滑雪場（雖然需要的設施僅僅是一部纜車）。建造一部纜車，需要從山腳到山頂立若干根柱子，並用鋼絲連結它們。你可以認爲相對於地面，柱子的高度可以忽略不計。每相鄰兩根柱子間都有鋼絲直接相連。顯然，所有鋼絲的任何一段都不能在地面之下。
爲了節省建造的費用，FR希望在工程中修建儘可能少的柱子。他在準備修建纜車的山坡上選定了N(2<=N<=5,000)個兩兩之間水平距離相等的點，並且測量了每個點的高度H(0<=H<=1,000,000,000)。並且，按照國家安全標準，相鄰兩根柱子間的距離不能超過K(1<=K<=N-1)個單位長度。柱子間的鋼絲都是筆直的。
FR希望你幫他計算一下，在滿足下列條件的情況下，他至少要修建多少根柱子：首先，所有的柱子都必須修建在他所選定的點上，且每一段鋼絲都必須高於地面或者正好跟地面相切。相鄰兩根柱子的距離不大於K個單位長度。當然，在第一個點與最後一個點上一定都要修建柱子。

$Input$

第1行: 兩個整數 N 和 K，用空格隔開
第2…N+1行: 每行包括一個正整數，第i+1行的數描述了第i個點的高度

$Output$

第1行: 輸出一個整數，即FR最少需要修建的柱子的數目

$Sample$ $Input$

13 4
0
1
0
2
4
6
8
6
8
8
9
11
12

$Sample$ $Output$

5

$Hint$

FR最少要修建5根柱子（分別在第1,5,7,9,13個山坡上的點）。鋼絲在1-5，5-7，7-9以及12-13這4段上與地 面相切。
如果FR只在1,5,9,13這4個點修建柱子，那5-9這一段鋼絲就有一部分在地下。如果柱子建在1,7,13這3個點，雖然鋼絲都是在地面之上，但這兩段鋼絲的長度都超過了最大長度限制。對於這組輸入數據，找不到一個合法方案，使方案中需要修建的柱子的數目少於5根。

$Train$ $of$ $Thought$

$DP$
以一個點$i$爲目標，我們看$i$的前$k$個單位長度中的點，是否能到點$i$，取最小值
判斷是否能到點$i$，可以通過斜率判斷（詳見$code$）

$Code$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

int h[5005], f[5005], n, k;

double absx(double a, double b)
{return max(a, b) - min(a , b);}

bool check(int s, int e)
{
	double slope = (h[e] - h[s]) * 1.0 / (e - s);//計算斜率
	double hnow = h[s];//hnow表示按照斜率計算出的當前高度
	for (int i = s + 1; i < e; ++i)
	{
		hnow += slope;
		if (h[i] > hnow && absx(hnow, h[i]) > 0.0000001) return 0;//若是中間有一根柱子高度超出了這一條線，顯然就是不可行的
	}
	return 1;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &h[i]);
	memset(f, 0x7f, sizeof(f));
	f[1] = 1; 	f[2] = 2;
	for (int i = 3; i <= n; ++i)
	{
		int last = i - k;
		if (last < 1) last = 1;
		for (int j = last; j < i; ++j)
			if (f[j] + 1 < f[i]) {
				if (check(j, i)) f[i] = min (f[j] + 1, f[i]);
		}
	}
	printf("%d", f[n]);
}