【JZOJ】【數論】Idiot 的乘冪

$Link$

$JZOJ$ $3909$

$Description$

$Input$

第一行一個正整數t，表示測試數據組數。
接下來t 行，每行五個正整數a、b、c、d、p，表示一組測試數據。

$Output$

一共t 行，第i 行表示第i 組測試數據的答案。若該組測試數據無解，則輸出No Solution!，否則輸出一個正整數x（1 <= x < p），表示同餘方程組的解。

$Sample$ $Input$

10
22 1 3 17 24
6 12 5 6 13
16 16 9 1 19
11 1 14 2 23
8 4 17 15 19
10 3 9 1 13
11 1 2 2 23
13 2 14 12 17
11 9 7 11 14
15 10 7 7 17

$Sample$ $Output$

NO
NO
YES
YES
YES
YES

$Hint$

$Train$ $of$ $Thought$

將題目中的方程轉化爲
$X ≡ X^{ax+cy} ≡ b^xd^y$
然後通過一次擴歐（擴展歐幾里得）求出可能的$x$和$y$
算出$X$再套回原方程檢驗就好了
但是，又因爲求出來的$x$和$y$可能是負數
這種情況就還要給$b$和$d$取一個逆元（求法還是擴歐）

$Code$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
 
using namespace std;

int t;
ll a, b, c, d, p;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0) {
		x = 1; y = 0;
		return a;
	}
	int val = exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y, y = z - y * (a / b);
	return val; 
}//擴歐

ll qpower(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	a %= p;
	for (; b > 0; b >>= 1)
	{
		if (b & 1) ans = (ll) (ans * a + p) % p;
		a = (ll) (a * a + p) % p;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		ll x = 0, y = 0;
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d, &p);
		exgcd(a, c, x, y);
		
		ll bf = b, df = d, unknown;
		if (x < 0) {
			exgcd(b, p, bf, unknown); //求b的逆元
			x = -x; 
		} 
		if (y < 0) {
			exgcd(d, p, df, unknown);//求d的逆元
			y = -y; 
		}
		
		ll X = (qpower(bf % p, x) % p * qpower(df % p, y) % p) % p;
		if ((qpower(X, a) % p == b % p) && (qpower(X, c) % p == d % p))//原方程檢驗
		 printf("%lld\n", X);
		 else printf("No Solution!\n");
	}
}