【信號與系統學習筆記】—— 信號的分類與信號的變換

這是《信號與系統》網上授課的第一次筆記，主要記錄一下自己對信號分類以及信號變換的一些理解。

P.S：在《信號與系統》這門課中會經常用到 $Matlab$ 仿真，我會將全部仿真代碼放到 $github$ 上

一、信號的分類

1.1 確定信號和不確定信號

這個概念其實很好理解：如果每一次發出的信號 $x$，它某一時刻的幅值每次都是固定的，那麼這個信號就是確定信號。

1.2 離散時間信號和連續時間信號

我們以後的課程約定：$x(t)$ 代表連續時間信號，用 $t$ 代表連續時間，圓括號括起來。注意：連續時間信號的自變量是連續的，幅值也是連續的。
$x[n]$ 代表離散時間信號，用 $n$ 代表離散時間（只能是整數！），方括號括起來。注意：離散時間信號的自變量是離散的，但是幅值是連續的。

1.3 週期信號和非週期信號

總所周知，對於連續時間信號 $y = sin(t)$ 顯然是一個週期信號。但是離散時間下，$y[n] = sin(n)$ 還是不是週期信號呢?

答案是：不一定了！
下面通過一個例子說明：我們下面的第一幅圖是 $t$ 從 [-10, 10] 的連續區間下的 $sin(t)$，第二幅圖是 $n$ 在 [-10,10] 的區間下以 1秒爲間隔的離散正弦信號：

我們發現，按照這樣的時間劃分，$sin(n)$ 已經不再是週期信號了！

1.4 能量信號和功率信號

先來看看連續時間信號在一段時間 $t_1$~$t_2$ 內的能量：$E = \int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$
那麼很自然地，在這段時間內信號的平均功率就是：$P = \frac{1}{t_2-t_1}E = \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$

下面我們再看看離散時間信號在一段時間 $n_1$ ~ $n_2$ 的能量：$E = \sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2$
對應地在這段時間內的平均功率爲：$P = \frac{1}{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2$
這裏要特別注意：離散時間下 $n_1$ 與 $n_2$ 之間的間隔是 $n_2-n_1+1$ ！！

然而，這門課研究的，是信號的過去、現在和未來，因此，爲了一般化，我們將時間取到無窮：
那麼，對於連續時間信號而言，能量就可以表示成：$E = \lim_{t\to ∞}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt$
而功率就可以表示成：$P = \lim_{t\to ∞}\frac{1}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt$

對於離散時間信號而言，能量可以表示成：$E =\lim_{N\to ∞}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$
功率可以表示成：$P = \lim_{N\to ∞}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$
(同樣要小心這裏的時間間隔 $2N+1$）

下面整理給出無限時間內，連續時間信號和離散時間信號分別的能量和功率的表達式：

1. 連續時間信號
   $\left \{ \begin{array}{c} E = \lim_{T\to ∞}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt\\ \\ P = \lim_{T\to ∞}\frac{1}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt \end{array} \right.$

2. 離散時間信號
   $\left \{ \begin{array}{c} E =\lim_{N\to ∞}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\\ \\ P = \lim_{N\to ∞}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 \end{array} \right.$

在我們得到了無限時間內，連續時間信號和離散時間信號分別的能量和功率的表達式之後，我們給出能量信號和功率信號的定義：

能量有限的，（功率爲0）就是能量信號
功率有限的，（能量無窮）就是功率信號

我們看啊，假如這個信號是能量信號，也就說明 $E$ 是一個有限的數，而在無窮的時間裏面積分還能得到有限的數，意味着這個信號總會有一個起點或者是終點，而不能無限延申下去

比如上面這樣的週期信號，就不可能是能量信號了，因爲它在 $t=∞$ 的時候依然會有有幅值的地方，所以它的 E應該是無窮大。

也即是說：

1. 週期信號一定是功率信號
2. 能量信號一定不是週期信號

結合上面的討論，我們從能量信號和功率信號的角度把週期信號和非週期信號分分類：
【1】首先對於週期信號，那必然是功率信號（因爲在可以無限延拓下去，所以能量無窮，但是因爲週期信號的幅度一定是有限的，所以它功率是一定的）

【2】對於非週期信號，我們可以分爲3類：

1. 第一類：持續時間無限，幅度固定的非週期信號（功率信號）

2. 只在一段有限時間內有幅度的信號，或者說持續時間有限（屬於能量信號）

3. 隨着時間的增長，幅度也一直增長：$t\to ∞, x(t) \to ∞$ （非功非能信號）

二、信號的變換

2.1 信號的時移

這個好理解：$x(t)\to x(t-t_0)$，如果 $t_0$大於0，說明把信號向右平移。如果 $t_0$ 小於0，說明信號向左平移。下面用matlab 畫一畫：

2.2 信號的反轉變換

$x(t)$ 如果將他變成 $x(-t)$，就是相當於把 $x(t)$ 沿着縱軸鏡像對稱翻折得到。

2.3 信號的尺度變換

如果對信號 $x(t)$ 做尺度變換 $x(at)$，有下面兩種情況：

1. 如果 $a > 1$ 相當於把信號壓縮（信號變瘦，高矮不變）
2. 如果 $0<a<1$,相當於把信號擴展（信號變胖，高矮不變）