【數學問題2】動力學建模

在動力學基礎篇我們已經介紹了關節速度與末端執行器速度的關係，這一片將會帶大家探討加速度之間的關係，因爲力的作用，總是離不開加速度。

一、公式回顧

對於旋轉關節，各連桿的線速度與角速度可以表示爲如下：

$^{i+1} \omega_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \ ^i \omega_i + \dot \theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1} \tag{1-1}$

$^{i+1}v_{i+1} =^{i+1}_{i}R ( \ ^iv_i + \ ^i\omega_i \times \ ^iP_{i+1})\tag{1-2}$

對於滑動關節，上一章沒有給出，推導方法類似，這裏直接給出公式：

$^{i+1} \omega_{i+1} = \ _i ^{i+1}R\ ^i\omega_i\tag{1-3}$

$^{i+1}v_{i+1} =^{i+1}_{i}R ( \ ^iv_i + \ ^i\omega_i \times \ ^iP_{i+1}) + \dot d_{i+1} \ ^{i+1} \hat Z_{i+1} \tag{1-4}$

二、剛體加速度公式

1、線加速度

跟位置與速度關係同理，我們可以通過對速度進行微分得到加速度：

$^BA_Q = \frac{d^BV_Q}{dt} = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim}\frac{^BV_Q(t+\Delta t) - ^BV_Q(t)}{\Delta t}$

不同參考系下的加速度變換如下：

2、角加速度

$^A \dot \Omega_B = \frac{d^A \Omega_B}{dt} = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim}\frac{^A \Omega_B(t+\Delta t) - ^A \Omega _B(t)}{\Delta t}$

不同參考系下的加速度變換如下，假設參考系$\{B\}$以角速度$^A\Omega_B$相對於參考系$\{A\}$轉動，同時參考系$\{C\}$以角速度$^B\Omega_C$相對於參考系$\{B\}$轉動：

$^A \Omega_C = \ ^A\Omega_B + \ ^A_BR ^B\Omega_C$

$^A \dot \Omega_C = \ ^A\dot \Omega_B + \ ^A_BR \ ^B\dot \Omega_C + \ ^A\Omega_B \times \ ^A_BR ^B\Omega_C$

三、平行移軸定理

平行移軸定理描述了一個以剛體質心爲原點的座標系平移到另外一個座標系時慣性裝量的變換關係。假設$\{C\}$是以剛體質心爲原點的座標系，$\{A\}$爲任意平移後的座標系，則並行移軸定理可以表示爲：

$^AI = \ ^CI + m(P_c^TP_cI_3 - P_cP_c^T)$

式中，$P_c = [x_c\quad y_c \quad z_c]^T$表示剛體質心在座標系$\{A\}$中的位置。

四、牛頓、歐拉方程

牛頓方程，式中，m爲剛體質量
$F = m\dot v_c \tag {4-1}$

歐拉方程，$\dot \omega ,\omega$分別爲角加速度和角速度，$^CI$表示剛體質心座標系中的慣性張量

$N = \ ^CI \dot \omega + \omega \times \ ^CI \omega \tag{4-2}$

五、牛頓-歐拉迭代動力學方程

1、加速度迭代

爲了計算作用在連桿上的慣性力，需要計算每個連桿在某一時刻的角速度，線加速度，角加速度。

角加速度迭代公式

對1-1角速度公式求導，得到角加速度公式：

線加速度迭代

$^{i+1}a_{i+1} = \ ^{i+1}_iR(\ ^ia_i + \ ^i \dot \omega_i \times \ ^iP_{i+1} + \ ^i \omega_i(\ ^i \omega_i \times \ ^iP_{i+1}))$

質心加速度

$^i a_{c_i} = \ ^ia_i + \ ^i \dot \omega_i \times \ ^iP_{c_i}+ \ ^i \omega_i \times(\ ^i \omega_i \times \ ^iP_{c_i})$

式中，$c_i$表示連桿$i$的質心

2、力和力矩的迭代

利用牛頓、歐拉公式計算出作用在連桿上的力和力矩後，計算關節力矩，他們實際是施加在連桿上的力和力矩

將所有作用在
$^if_i = \ ^iF_i+ \ ^i_{i+1}R \ ^{i+1}f_{i+1}$

$^in_i = \ ^i_{i+1}R \ ^{i+1}n_{i+1} + \ ^iN_i + \ ^iP_{c_i}\times \ ^iF_i + \ ^iP_{i+1}\times \ ^i_{i+1}R \ ^{i+1}f_{i+1}$

在靜力學中，可通過計算一個連桿施加於相鄰連桿的力矩在$\hat Z$方向的分量求得關節力矩：

$\tau = \ ^in_i^T \ ^i \hat Z_i$