使用AD5933測量元器件的諧振特性

 

■ 前言

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元器件的諧振特性

使用 使用AD5933測量電子器件復阻抗 測量元器件的諧振特性。這裏記錄了一些相應的的電子實驗的數據。以備之後進行復習和參考。

 

01測量電路

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在 使用AD5933測量電子器件復阻抗 中給出了直接測量一些元器件（電阻、電容）的結果。爲了擴大測量器件特性的範圍，特別是對於一些超過直接測量範圍（比如阻抗比較小的揚聲器，甚至一些實際的動態系統），使用了 基於運放AD8606的信號緩衝小板 對一些器件的激勵信號進行緩衝，然後再通過一個固定的電阻（100kΩ）輸入到AD5933的Vin輸入端口。

^{▲ 測試電路}

這裏需要指出的是：

• 輸入到AD5933的隔直電容$C_1$必須加上。否則就會引起AD5933飽和。或者工作不正常。

^{▲ 實驗板上的OPA緩衝電路}

 

02測量電路和計算公式

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1. 測量電路與數據

在麪包板上，將AD5933模塊的Vin，Vout的接口以及相應的分壓電阻和AD8606緩衝電路組成一下的實驗電路。首先使用$R_1 ,R_2$組成分壓電路，並測量校準的數據。然後將$R_2$更換成需要測量的元器件，得到測量的數據。然後在根據校準的數據計算出待測量元器件的阻抗和相角。

^{▲ 測量實驗電路基本結構}

假設在某一頻率$f_1$下，使用電阻所獲得的校正測量數據的實部和虛部爲：$R_c ,I_c$。那麼對應的幅度和相角爲：$A_c = \sqrt {R_c^2 + I_c^2 } ,\,\,\,\,\theta _c = \arctan 2\left( {I_c ,R_c } \right)$

將待測元器件更換之後，所測量得到的數據實部和虛部爲：$R_m ,I_m$。

爲了後面方便計算和推導，假設在進行校正環節中，所使用的$R_1 ,R_2$相同，都等於$R$。通常選擇$R$的大小與待測元器件的阻抗在相同的數量級。

2.第一種求解公式推導

假設AD5933的Vout輸出的電壓可以使用復矢量：$\dot U_{out} = U_R + jU_I$表示。那麼當$R_1 = R_2 = R$時，$\dot U_{out} = 2R_c + 2jI_c$。

當$R_2$替換成被測元器件（$R_m + jI_m$）後，測量的結果爲：
$\dot U_{out} \cdot {{R_t + jI_t } \over {R + R_t + jI_t }} = {{\left( {2R_c + 2jI_c } \right)\left( {R_t + jI_t } \right)} \over {R + R_t + jI_t }} = R_m + jI_m$

對上面公式的分子進行化簡：

爲了便於推導求解$R_t ,I_t$的公式，下面做些表達式替換：
$a = R_c ,b = I_c ,c = R_m ,d = I_m ,x = R_t ,y = I_t$

則上面的表達式就變成：

${{2\left( {a + jb} \right)\left( {x + jy} \right)} \over {R + x + jy}} = c + jd$

那麼：

根據上面方程，可以得到如下關於$x,y$的二元非線性方程組：

經過化簡可以得到如下關於$x,y$的二元二次方程組：
$\left( {2a - c} \right)x^2 + \left( {2a - c} \right)y^2 + \left( {2Ra - 2Rc} \right)x - 2Rby - R^2 c = 0$

$\left( {2b - d} \right)x^2 + \left( {2b - d} \right)y^2 + \left( {2Rb - 2Rd} \right)x + 2Ray - R^2 d = 0$

求解上述方程組會遇到麻煩。下面通過直角座標系和極座標系相結合的方式求解測量阻抗。

3.第二種公式推導過程

在假設$R_1 = R_2 = R$的條件下，可以知道Vin的可以表示成：$\bar U_{IN} \angle \theta _{IN} = 2\bar U_C \angle \theta _C$

那麼測量元器件的結果假設爲：$\bar U_m \angle \theta _m = R_m + i \cdot I_m$。那麼待測與器件的復阻抗爲：$R_t + iI_t$，則有：

${{R_t + i \cdot I_t } \over {R + R_t + i \cdot I_t }} \cdot \bar U_{IN} \angle \theta _{IN} = \bar U_m \angle \theta _m$

因此：

${{R_t + i \cdot I_t } \over {R + R_t + i \cdot I_t }} = {{\bar U_m } \over {\bar U_{IN} }}\angle \left( {\theta _m - \theta _{IN} } \right) = \bar U_0 \angle \theta _0 = R_0 + jI_0$

假設：$x = R_t ,y = I_t ,a = R_0 ,b = I_0$，那麼可以得到如下二元二次方程組：

${{x\left( {R + x} \right)} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} + {{y^2 } \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} = a$$- {{xy} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} + {{y\left( {R + x} \right)} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} = b$

4.使用複數簡化推導

假設被測元器件的復阻抗爲$\dot x = x_r + jx_i$。記$\dot a = R_0 + jI_0$，那麼：
${x \over {R + x}} = a$

求解可以得到：
$x = \left\{ {\left( {\left\{ { - {{Ra} \over {a - 1}}} \right\} \setminus \left\{ { - R} \right\}} \right)} \right\}$

將其中的$a$帶回$\dot a = m + jn$，那麼被測復阻抗爲：

$\dot x = - {{Rm\left( {m - 1} \right)} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} - {{Rn^2 } \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} + i\left( {{{Rmn} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} - {{Rn\left( {m - 1} \right)} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }}} \right)$

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-06-28
#
# Note:
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from headm import *
from sympy                  import print_latex,abc,symbols,expand,I,re,im
from sympy                  import solveset,cos,sin,nonlinsolve
R,m,n = symbols('R, m, n', real=True)
x,a = symbols('x, a', complex=True)
a = m+I*n
#res = nonlinsolve([x/(R+x)-a], x)
expr = -R * a / (a-1)
print_latex(re(expr) + I * im(expr))
tspexecutepythoncmd('msg2latex')
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

 

03一些測量結果

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1.測量壓電陶瓷揚聲器

^{▲ 電阻10k測量結果}

^{▲ 小型壓電陶瓷發聲片}

^{▲ 帶有諧振腔的壓電陶瓷發生器}

2.揚聲器

^{▲ 電阻22歐姆測量數據}

^{▲ 微型揚聲器3Ω}

^{▲ 小型揚聲器8Ω}

^{▲ 中型揚聲器4歐姆}

^{▲ 低音揚聲器8歐姆}

LC電路：

$L = 10mH,\,\,\,C = 2.2nF$

諧振頻率：
$f_0 = {1 \over {2\pi \sqrt {LC} }} = {1 \over {2\pi \sqrt {10 \times 10^{ - 3} \times 2.2 \times 10^{ - 9} } }} = 33.9kHz$

^{▲ LC串聯諧振電路}

^{▲ 時鐘晶體（32765）測量數據}

 

※ 結論

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觀察到了一些典型元器件的復阻抗的測量結果。

將實際計算的過程，出現了求解困難的問題。這個問題還是留在其它時候進行求解。