PN結中存在的Boltzmann常數

在文章 Measurement of Boltzman’s Constant 作者對， Inman和Miller 在1979年的一個基於晶體三極管測量Boltzmann常數的時間進行的復現和講解。作爲電子學教育的一個很好的文章。

 

01 PN結的電壓與電流

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在PN結兩邊由於電子熱擴散以及隨後引起的電子-空穴的複合，形成的耗散區域，產生了一個$V_0$的接觸電位，並形成了PN結內部的電場$E_d$。$E_d$是$V_0$除以PN物理等效寬度。

在n型半導體內部的電子的熱動能呈現Boltzmann分佈：

這其中動能大於$e \cdot V_0$的電子數量應該是：

這表明可以越過PN結內部電場的電子數量是V0的指數函數。假設其中有一定比例的電子正好越過PN結，這樣就形成了擴散電流，它的形式爲 原文 中的公式（1）：

由PN結內部電場$E_d$會使得一部分在p型半導體的電子（包括擴散來的電子以及p型半導體內部熱運動產生的電子）流向n型半導體，形成逆向（與擴散電流相反）電流。在平衡下，電場$E_d$引起逆向電流等於（1-3）對應的擴散電流，$i_0$。

^{▲ PN結兩邊的勢能以及電子的Boltsmann分佈}

當PN結施加正向電壓（從p型半導體指向n型半導體）$V$後，PN結兩邊的電位差就變成了$V_0 - V$，形成的擴散電流就變成了:

在施加了正向電壓之後，PN結內部的電場應該也發生了變化。所產生的逆向電流並沒有變化，這是因爲逆向電流是對那些漂移到p型半導體耗散層的電子的總和（因爲它們都會被內電場發送到n型半導體耗散層），這些電子沒有發生變化，所以逆向電流依然是（1-3）公式對應的值。

根據公式（1-4），（1-3），擴散電流減去逆向電流就是觀察到的PN結的導通電流：

這就得到了PN結電流與電壓之間的關係。通常，由於$e^{{{eV_0 } \over {kT}}}$遠遠大於1，所以可以將（1-5）公式括號中的1省略掉。

在上述公式中，還有其他的因素會影響指數的係數，最後的公式可以寫成：

其中m可以取值從1到2.5。

 

02三極管內的PN結電流

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在三極管中，如果集電極與基極之間的電位$U_{b - c}$始終保持爲0時，那麼發射極與基極之間的電流與PN結之間的關係就由（1-5）來決定了。

因此，如果把三極管的集電極電流$I_c$作爲發射極-基極之間電壓$U_{b - e}$的關係的話，那麼就有：

這個方程也被稱爲：Ebers-Moll方程。

^{▲ 三極管的發射極與集電極電流}

公式（2-1）是所有基於三極管PN結來測量Boltzmann常數的基礎。

下圖是摘自1973年Inman,Miller論文中的電路圖，其中使用了PNP型 晶體管TIP29(30) 的b-PN結來測量，圖中的R選取1MΩ至10kΩ，取決於測量電流的範圍。

^{▲ 測量三極管TIP29PN結電流和電壓關係的電路}

使用中，使用了較爲便宜的運放 741 對集電極電流進行電壓轉換。爲了消除 741 較大的偏置電壓，可以將TIP29 與運放斷開，測量出對應的偏移量，最後從測量數據中扣除其影響即可。

圖中採用了TIP29是一個大型功率三極管，可以通過散熱片來保證晶體管內部溫度與環境溫度相一致。

也可以將上述三極管浸泡在絕緣油裏來控制三極管的溫度。

下圖是原論文中給出的在不同的反饋電阻R下，也就是在不同的電流範圍內測量的電流與電壓之間的關係。其中電流使用了對數，這樣就得到了電流與電壓之間的線性關係。

^{▲ 分別在三種不同的反饋電阻向測量的結果}

圖中對於大電流下（測量線C）出現的偏差，原來來自於PN結內的電阻存在對於電壓的影響。

 

※ 結論

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上面的是揣進來自於1986年的Physics Education（Great Britain）的文章，作者對於1973年的Inman, Miller給出的方案進行了復現。得益於精密的數字萬用表以及使用計算機進行數據除拆除，所獲的Boltzmann常數的精度達到了3%的範圍。

這個實驗是驗證Boltzmann分佈規律的簡單明瞭的一個電子實驗。

實際上，選擇不同的測量電流範圍，所得到的Boltzmann的常熟也會發生變化。在博文 利用二極管的P-N結的I-V特性測量Boltzmann常數 中給出了一組不同的配置方案下所得到的結果。