17. 排序--希爾排序

希爾排序

希爾排序是插入排序的改進，增加了間隔排序（間隔排序算法與插入排序相似），最後進行插入排序

算法原理

• 定義增量序列DM>DM−1>...>D1=1
• 對每個Dk 進行”Dk− 間隔“排序（k=M,M−1,...,1 ）
• 注意：”Dk− 間隔“有序的序列，在執行”Dk−1− 間隔“排序後，仍然是”Dk− 間隔“有序的

原始希爾排序實現

原始增量序列：DM=⌊N/2⌋,Dk=⌊Dk+1/2⌋

void Shell_Sort(ElementType[] A, int N) {
    for (D = N/2; D > 0; D /= 2) {
        for (P = D; P < N; P++) {
            Tmp = A[P];
            for (i = P; i >= 0 && A[i - D] > Tmp; i -= D) 
                A[i] = A[i - D];
            A[i] = Tmp;
        }
    }
}

• 最壞情況：當前幾次增量序列做排序時沒有改變序列順序，依靠最後的1間隔排序（直接插入排序）才完成整個序列的排序。時間複雜度爲T=Θ(N2)
• 穩定性：由於多次插入排序，一次插入排序是穩定的，不會改變相同元素的相對順序，但在不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，最後其穩定性就會被打亂，所以希爾排序是不穩定的

更多的增量序列

原始的增量序列，因爲增量元素不互質，則小增量可能根本就不起作用。這裏引入兩種增量序列來解決

• Hibbard增量序列
  
  • Dk=2k−1 :相鄰元素互質
  • 最壞情況：T=Θ(N3/2)
  • 猜想：Tavg=O(N5/4)
• Sedgewick增量序列
  
  • {1,5,19,41,109,...} ：9∗4i−9∗2i+1 或4i−3∗2i+1
  • 猜想：Tavg=O(N7/6) ，Tworst=O(N4/3)