概率論之微積分的解

首先說明，儘管公司已經復工，但住的地還是封閉的，回不去，只能在家待着了。複習《概率率與數理統計》發現對微積分不是清楚。對於怎麼解題，也是看不懂。雖說概率論的思想（或稱思路）比較重要，但對於題，總歸是要有個結果，才能得分的吧。

之前的理解，其實都是古典微積分的內容：

古典微積分求解的主要思想是把曲線下的面積劃分成了無數個矩形面積求和後得到的

1. 無窮小量：在用古典微積分求解曲線圍成的面積事，把曲線對 的定義域[a,b]均分成間隔長度   爲n份，當n  時， 變成無窮小量，記作dx，即  X 的微分
2. 微分：微分是微小的增量，即無窮小量。在古典微積分學中，無窮小量是建立微積分的基礎。
3. 切線：通過無窮小量定義了切線。
4. 導數：導數就是切線的斜率。

無窮小量有嚴重的問題：

所以就古典微積分中切線的定義而言，微積分的基礎就是不牢固的。

無窮小量的麻煩還遠遠不止這一些，  的導數是這樣計算的：

仔細看看運算過程， dx 先是在約分中被約掉， 

然後又在加法中被忽略，就是說，先被當作了非0的量，又被當作了0，這就是大主教貝克萊（就是在高中政治書被嘲笑的唯心主義的代表）所攻擊的像幽靈一樣的數，一會是0一會又不是0。
無窮小量和無窮小量相除爲什麼可以得到不一樣的值？難道不應該都是1？
無窮小量還違反了 阿基米德公理 （公理等價於說，對於任何正實數a、b，如果 a<b，則存在自然數n，有

），這個纔是更嚴重的缺陷，康托爾證明過，如果阿基米德公理被違背的話會出大問題。

基於極限重建微積分概念：

可以看到，極限的描述並沒有用到什麼無窮小量。

導數的極限定義

用極限重新嚴格定義了導數，此時已經脫離了微商的概念。也就是此時，導數應該被看成一個整體。 

原來古典微積分是先定義微分再定義導數，

現在極限微積分是先定義了導數再有微分。

 由兩部分組成，通過圖來觀察一下幾何意義： 

 

把切線的增量定義爲微分函數dy

我們令 ，由此可得 微分 dx的定義。
最後我們可以得到  ： 

 

對於極限微積分的總結

• 導數：導數被定義爲一個極限，其意義就是變化率
• 微分：微分是一個線性函數，其意義就是變化的具體數值
• 切線：有了導數之後就可以被確定下來了