DTOJ 4653. 「CSP-S 2019」樹上的數

題意

給定一個大小爲 $n$ 的樹，它共有 $n$ 個結點與 $n − 1$ 條邊，結點從 $1 \sim n$ 編號。初始時每個結點上都有一個 $1 \sim n$ 的數字，且每個 $1 \sim n$ 的數字都只在恰好一個結點上出現。

接下來你需要進行恰好 $n − 1$ 次刪邊操作，每次操作你需要選一條未被刪去的邊，此時這條邊所連接的兩個結點上的數字將會交換，然後這條邊將被刪去。

$n − 1$ 次操作過後，所有的邊都將被刪去。此時，按數字從小到大的順序，將數字 $1 \sim n$ 所在的結點編號依次排列，就得到一個結點編號的排列 $P_i$。現在請你求出，在最優操作方案下能得到的字典序最小的 $P_i$。

如上圖，藍圈中的數字 $1 \sim 5$ 一開始分別在結點 ②、①、③、⑤、④。按照 (1)(4)(3)(2) 的順序刪去所有邊，樹變爲下圖。按數字順序得到的結點編號排列爲 ①③④②⑤，該排列是所有可能的結果中字典序最小的。

數據範圍：

測試點編號	$n\le $	特殊性質
$1\sim 2$	$10$	無
$3\sim 4$	$160$	樹的形態是一條鏈
$5\sim 7$	$2\times 10^3$	樹的形態是一條鏈
$8\sim 9$	$160$	存在度數爲 $n − 1$ 的結點
$10\sim 12$	$2\times 10^3$	存在度數爲 $n − 1$ 的結點
$13\sim 16$	$160$	無
$17\sim 20$	$2\times 10^3$	無

對於所有測試點：$1 \le T \le 10$，保證給出的是一個樹。

題解

吐槽：

幾個月後再回過頭來看這道考場上完全自閉的題，沒看題解按自己新的想法寫了半天過了。其實思路非常自然，完全沒有之前想象的神仙。雖然確實有一定細節需要耗費較多時間（指以我的垃圾思考力），但至少鏈和菊花圖的分都比較好拿，也不知道當時在幹什麼。

可能還是臨場心態的問題吧，當時想着18年人均AK的D1，然後一開始沒什麼想法就真的很絕望，於是在自閉中結束了考試。現在想來還是好可惜啊，按照這個思路在考試還剩2.5h的情況下至少能多拿鏈+菊花圖的50pts吧（一開始試驗了鏈的代碼只有1.5k，菊花圖應該更好寫）。之前考場的心態一直不太對，總想着能拿多少分，會不會被別人區分掉。其實真正的目標應該考出自己應有的實力，不要留下遺憾吧。這樣就算沒考好，也能夠問心無愧地說一句技不如人，而不是重新審視這場考試再來後悔莫及。

希望省選，不要帶着遺憾退役，畢竟OI生涯至今並沒有任何一場自己滿意的考試（也沒考過幾次就是了）。

正話：
顯然按位考慮每個數，儘量使它放到編號最小的點上。問題在於如何判斷一個數是否可以從$u$號點出發恰好走到$v$號點：將這個轉化到邊的排列順序的限制上（因爲限制就在於每條邊恰好用一次），畫圖可知等價於對於經過的一系列邊，每相鄰兩條在相交的點的所有邊中的順序是相鄰的，且在$u$上的邊一定是u的邊中最先取的，同理在v的是最後，容易感性認知 證明其充分必要性。
於是用標記數組存每條邊在兩個端點上是否有相鄰的限制。同時，在一個點的連邊中的相鄰限制關係還不能構成環，用並查集維護一下即可。特殊地，還要考慮一個點的一條邊是最先/最後取的情況，如果最先和最後取的邊在同一並查集上，那麼這個並查集必須包含這個點的所有邊。直接做是$O(n^{3})$的，預處理當前的點能到達哪些節點，即可做到$O(n^{2})$。
（我是真的弱智吧，考場上怎麼能沒有想法啊？？？）