雖然之前我的 B l o g Blog B l o g
說來也真是佩服傅里葉他老先生及其敏銳的洞察力，他認爲：所有周期信號都可以用若干個正弦波疊加形成。 ， 我們看圖說話，下面三張圖，分別是：y = 0.5 + 0.637. ∗ c o s ( x ) y = 0.5 + 0.637. ∗ c o s ( x ) − 0.212. ∗ c o s ( 3 ∗ x ) y = 0.5 + 0.637. ∗ c o s ( x ) − 0.212. ∗ c o s ( 3 ∗ x ) + 0.127. ∗ c o s ( 5 ∗ x )
y = 0.5 + 0.637.*cos(x)\\
y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x)\\
y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x)+0.127.*cos(5*x)
y = 0 . 5 + 0 . 6 3 7 . ∗ c o s ( x ) y = 0 . 5 + 0 . 6 3 7 . ∗ c o s ( x ) − 0 . 2 1 2 . ∗ c o s ( 3 ∗ x ) y = 0 . 5 + 0 . 6 3 7 . ∗ c o s ( x ) − 0 . 2 1 2 . ∗ c o s ( 3 ∗ x ) + 0 . 1 2 7 . ∗ c o s ( 5 ∗ x )
因此，我們給出實傅里葉級數的公式：f ( t ) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k c o s k ω 0 t + b k s i n k ω 0 t ) f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_kcoskω_0t + b_ksinkω_0t) f ( t ) = 2 a 0 + k = 1 ∑ ∞ ( a k c o s k ω 0 t + b k s i n k ω 0 t )
實傅里葉級數的表示可能還是不夠直觀，我們想要一種新的表現方式，這時我們需要用到歐拉公式：c o s ( k ω 0 t ) + j s i n ( k ω 0 t ) = e j k ω 0 t
cos(kω_0t) + jsin(kω_0t) = e^{jkω_0t} c o s ( k ω 0 t ) + j s i n ( k ω 0 t ) = e j k ω 0 t f ( t ) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k c o s k ω 0 t + b k s i n k ω 0 t ) = a 0 2 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ [ ( a k e j k ω 0 t + a k e − j k ω 0 t ) − j ( b k e j k ω 0 t − b k e − j k ω 0 t ) ] = a 0 2 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ ( a k − j b k ) e j k ω 0 t + 1 2 ∑ k = 1 ∞ ( a k + j b k ) e − j k ω 0 t = ∑ k = 0 a k 2 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ ( a k − j b k ) e j k ω 0 t + 1 2 ∑ k = − 1 − ∞ ( a − k + j b − k ) e j k ω 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ c k e j k ω 0 t
\begin{aligned}
f(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_kcoskω_0t + b_ksinkω_0t)\\
&=\frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}[(a_ke^{jkω_0t} + a_ke^{-jkω_0t})-j(b_ke^{jkω_0t}-b_ke^{-jkω_0t})]\\
&=\frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}(a_k - jb_k)e^{jkω_0t} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}(a_k + jb_k)e^{-jkω_0t}\\
&=\sum_{k=0}\frac{a_k}{2} +\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}(a_k - jb_k)e^{jkω_0t} + \frac{1}{2}\sum_{k=-1}^{-∞}(a_{-k} + jb_{-k})e^{jkω_0t}\\
&=\sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkω_0t}
\end{aligned}
f ( t ) = 2 a 0 + k = 1 ∑ ∞ ( a k c o s k ω 0 t + b k s i n k ω 0 t ) = 2 a 0 + 2 1 k = 1 ∑ ∞ [ ( a k e j k ω 0 t + a k e − j k ω 0 t ) − j ( b k e j k ω 0 t − b k e − j k ω 0 t ) ] = 2 a 0 + 2 1 k = 1 ∑ ∞ ( a k − j b k ) e j k ω 0 t + 2 1 k = 1 ∑ ∞ ( a k + j b k ) e − j k ω 0 t = k = 0 ∑ 2 a k + 2 1 k = 1 ∑ ∞ ( a k − j b k ) e j k ω 0 t + 2 1 k = − 1 ∑ − ∞ ( a − k + j b − k ) e j k ω 0 t = k = − ∞ ∑ + ∞ c k e j k ω 0 t
因此，我們就得到了復傅里葉級數的表示！
那麼，這裏有一個未知數 c k c_k c k f ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ c k e j k ω 0 t f ( t ) = c m e j m ω 0 t + ∑ k = − ∞ , k ≠ m + ∞ c k e j k ω 0 t f ( t ) e − j m ω 0 t = c m + ∑ k = − ∞ , k ≠ m + ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t = ∫ − T 2 T 2 c m + ∫ − T 2 T 2 ∑ k = − ∞ , k ≠ m + ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t = T c m + 0 c m = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j m ω 0 t
\begin{aligned}
f(t) &= \sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkω_0t}\\
f(t)&=c_me^{jmω_0t}+\sum_{k = -∞,k≠m}^{+∞}c_ke^{jkω_0t}\\
f(t)e^{-jmω_0t} &=c_m+\sum_{k = -∞,k≠m}^{+∞}c_ke^{j(k-m)ω_0t}\\
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jmω_0t} &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}c_m+\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum_{k = -∞,k≠m}^{+∞}c_ke^{j(k-m)ω_0t}\\
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jmω_0t} &= Tc_m+0\\
c_m &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jmω_0t}
\end{aligned}
f ( t ) f ( t ) f ( t ) e − j m ω 0 t ∫ − 2 T 2 T f ( t ) e − j m ω 0 t ∫ − 2 T 2 T f ( t ) e − j m ω 0 t c m = k = − ∞ ∑ + ∞ c k e j k ω 0 t = c m e j m ω 0 t + k = − ∞ , k = m ∑ + ∞ c k e j k ω 0 t = c m + k = − ∞ , k = m ∑ + ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t = ∫ − 2 T 2 T c m + ∫ − 2 T 2 T k = − ∞ , k = m ∑ + ∞ c k e j ( k − m ) ω 0 t = T c m + 0 = T 1 ∫ − 2 T 2 T f ( t ) e − j m ω 0 t
剛剛在 1.1 節我們在討論爲什麼要用複數的線性疊加來代替原來的信號時，解釋得有點牽強。
難道僅僅是因爲看起來一堆不同幅度的正弦波可能可以疊加成一些其他新的波形，我們就用正餘弦函數來表示、然後又根據歐拉公式，我們就可以用複數的線性疊加來表示信號嗎？
說到底，還是沒有講清楚引入複數的意義！
其實，我們考慮用復指數信號來合成信號的原因是：復指數信號具有保真性 。也就是說，一個復指數信號經過一個系統，輸出的信號依然還是復指數，只不過幅度或頻率改變了，我們看看爲什麼？
首先分析一下連續時間信號，假設我們的輸入信號是 x ( t ) = e s t x(t) = e^{st} x ( t ) = e s t h ( t ) h(t) h ( t ) B l o g Blog B l o g x ( t ) x(t) x ( t ) y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e s ( t − τ ) d τ = e s t ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − s τ d τ = e s t H ( s )
\begin{aligned}
y(t) &= \int_{-∞}^{+∞}h(τ)x(t-τ)dτ\\
&=\int_{-∞}^{+∞}h(t-τ)e^{s(t-τ)}
dτ\\
&=e^{st}\int_{-∞}^{+∞}h(τ)e^{-sτ}dτ\\
&=e^{st}H(s)
\end{aligned} y ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e s ( t − τ ) d τ = e s t ∫ − ∞ + ∞ h ( τ ) e − s τ d τ = e s t H ( s )
而這個 H ( s ) H(s) H ( s ) x [ n ] = z n x[n] = z^{n} x [ n ] = z n y [ n ] = ∑ k = − ∞ + ∞ h [ k ] x [ n − k ] = ∑ k = − ∞ + ∞ h [ k ] z n − k = z n ∑ k = − ∞ + ∞ h [ k ] z − k = z n H ( z )
\begin{aligned}
y[n] &= \sum_{k=-∞}^{+∞}h[k]x[n-k]\\
&=\sum_{k=-∞}^{+∞}h[k]z^{n-k}\\
&=z^n\sum_{k=-∞}^{+∞}h[k]z^{-k}\\
&=z^nH(z)
\end{aligned} y [ n ] = k = − ∞ ∑ + ∞ h [ k ] x [ n − k ] = k = − ∞ ∑ + ∞ h [ k ] z n − k = z n k = − ∞ ∑ + ∞ h [ k ] z − k = z n H ( z )
至此，我們得到了復傅里葉級數的表示方法，以及復傅里葉係數的計算公式。但是，這些有什麼用？爲什麼需要用這樣的傅里葉級數形式來表示呢？？
復傅里葉級數最好的用途就是表示信號的頻譜 ！何謂之信號的頻譜？那就要牽扯到頻域了。
我們平時所接觸到的信號，大多是以時域的形式和我們見面的。例如我們常聽見的音樂信號，我們可以非常熟悉它時域上的表示：
但是，學過樂器的同學們應該更熟悉音樂信號的另外一種表示形式——音符：
不同的音符，代表着不同的頻率成分。我們看看復傅里葉級數的公式：f ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ c k e j k ω 0 t
f(t) = \sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkω_0t} f ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ c k e j k ω 0 t
所以我們發現，f ( t ) f(t) f ( t ) e j k ω 0 t e^{jkω_0t} e j k ω 0 t e j k ω 0 t e^{jkω_0t} e j k ω 0 t c k c_k c k （c k c_k c k
比如我們有這樣一個信號：f ( t ) = e j 2 ω 0 t + 5 e j ω 0 t + 6 f(t) = e^{j2ω_0t} + 5e^{jω_0t} + 6 f ( t ) = e j 2 ω 0 t + 5 e j ω 0 t + 6
也就是說，計算復傅里葉係數的過程，就是計算信號頻譜的過程！
我們知道如何計算頻譜了，這算是邁出了一大步：因爲我們處理信號的能力，從時域擴展到了頻域。
我們先來看看下面這個週期爲：T 0 T_0 T 0 T 0 2 \frac{T_0}{2} 2 T 0
c 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 f ( t ) d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 T 0 4 1 d t = 0.5 c_0 = \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt =\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{\frac{T_0}{4}}1dt = 0.5 c 0 = T 0 1 ∫ − 2 T 0 2 T 0 f ( t ) d t = T 0 1 ∫ − 4 T 0 4 T 0 1 d t = 0 . 5
c k = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 f ( t ) e j k ω t d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 e j k ω t d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 ( c o s ( k ω t ) − j s i n ( ω t ) ) d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 c o s ( k ω t ) d t − j T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 s i n ( k ω t ) d t = 1 T 0 k ω ∫ − T 0 4 + T 0 4 c o s ( k ω t ) d ( k ω t ) = 2 s i n k ω T 0 4 T k ω
\begin{aligned}
c_k &= \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{jkωt}dt\\
&=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}e^{jkωt}dt\\
&=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}(cos(kωt)-jsin(ωt))dt\\
&=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}cos(kωt)dt - \frac{j}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}sin(kωt)dt \\
&=\frac{1}{T_0kω}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}cos(kωt)d(kωt)\\
&=\frac{2sin\frac{kωT_0}{4}}{Tkω}\\
\end{aligned}
c k = T 0 1 ∫ − 2 T 0 2 T 0 f ( t ) e j k ω t d t = T 0 1 ∫ − 4 T 0 + 4 T 0 e j k ω t d t = T 0 1 ∫ − 4 T 0 + 4 T 0 ( c o s ( k ω t ) − j s i n ( ω t ) ) d t = T 0 1 ∫ − 4 T 0 + 4 T 0 c o s ( k ω t ) d t − T 0 j ∫ − 4 T 0 + 4 T 0 s i n ( k ω t ) d t = T 0 k ω 1 ∫ − 4 T 0 + 4 T 0 c o s ( k ω t ) d ( k ω t ) = T k ω 2 s i n 4 k ω T 0 ω = 2 Π T = 2 Π T 0 ω = \frac{2Π}{T} = \frac{2Π}{T_0} ω = T 2 Π = T 0 2 Π 2 s i n k ω T 0 4 T k ω = 1 2 s i n k Π 2 k Π 2
\frac{2sin\frac{kωT_0}{4}}{Tkω}=\frac{1}{2}\frac{sin\frac{kΠ}{2}}{\frac{kΠ}{2}} T k ω 2 s i n 4 k ω T 0 = 2 1 2 k Π s i n 2 k Π s i n c ( x ) = s i n ( Π x ) Π x sinc(x) = \frac{sin(Πx)}{Πx} s i n c ( x ) = Π x s i n ( Π x )
那麼，我們上面那個佔空比爲 1 2 \frac{1}{2} 2 1 X ( k ) = 1 2 s i n c ( k 2 )
X(k) = \frac{1}{2}sinc(\frac{k}{2}) X ( k ) = 2 1 s i n c ( 2 k )
如果我們改變佔空比，即矩形信號的脈衝寬度不變，還是 T 0 2 \frac{T_0}{2} 2 T 0 T = 2 T 0 T = 2T_0 T = 2 T 0
我們先看看 c 0 c_0 c 0 c 0 = 1 2 T 0 ∫ − T 0 T 0 f ( t ) d t = 1 2 T 0 ∫ − T 0 4 T 0 4 d t = 0.25
\begin{aligned}
c_0 &= \frac{1}{2T_0}\int_{-T_0}^{T_0}f(t)dt\\
&=\frac{1}{2T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{\frac{T_0}{4}}dt=0.25
\end{aligned}
c 0 = 2 T 0 1 ∫ − T 0 T 0 f ( t ) d t = 2 T 0 1 ∫ − 4 T 0 4 T 0 d t = 0 . 2 5 c k c_k c k c k = 1 2 T 0 ∫ − T 0 4 T 0 4 e j k ω t d t = 1 2 T 0 ∫ − T 0 4 T 0 4 ( c o s ( k ω t ) + j s i n ( k ω t ) ) d t = 1 2 T 0 1 k ω 2 s i n ( k ω T 0 4 ) = s i n ( k Π 4 ) k Π = 1 4 s i n ( k Π 4 ) k Π 4 = 1 4 s i n c ( k 4 )
\begin{aligned}
c_k &= \frac{1}{2T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{\frac{T_0}{4}}e^{jkωt}dt\\
&=\frac{1}{2T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{\frac{T_0}{4}}(cos(kωt)+jsin(kωt))dt\\
&=\frac{1}{2T_0}\frac{1}{kω}2sin(kω\frac{T_0}{4})\\
&=\frac{sin(\frac{kΠ}{4})}{kΠ}\\
&=\frac{1}{4}\frac{sin(\frac{kΠ}{4})}{\frac{kΠ}{4}}\\
&=\frac{1}{4}sinc(\frac{k}{4})
\end{aligned}
c k = 2 T 0 1 ∫ − 4 T 0 4 T 0 e j k ω t d t = 2 T 0 1 ∫ − 4 T 0 4 T 0 ( c o s ( k ω t ) + j s i n ( k ω t ) ) d t = 2 T 0 1 k ω 1 2 s i n ( k ω 4 T 0 ) = k Π s i n ( 4 k Π ) = 4 1 4 k Π s i n ( 4 k Π ) = 4 1 s i n c ( 4 k )
同樣地，我們再來看看這個佔空比爲 1 4 \frac{1}{4} 4 1
下面我們直接給出佔空比是 1 8 \frac{1}{8} 8 1
歸納一下我們剛剛計算的，不同佔空比矩形信號的頻譜（線譜）的表達式規律：如果我們設矩形信號的佔空比爲：1 n \frac{1}{n} n 1 X ( k ) = 1 n s i n c ( k n )
X(k) = \frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n}) X ( k ) = n 1 s i n c ( n k )
這個表達式我們發現：佔空比越小，c k c_k c k
從上面的分析發現：隨着T的增大，線譜中不同頻率的譜線的間距越來越小，數量也越來越多，這樣不太利於我們對頻率的分析，我們引入了連續譜，或者我們叫做頻譜密度曲線
爲了更好地理解：頻譜密度曲線，我們先來看看概率密度曲線的意義：
紅色的曲線就是x的概率密度函數pdf曲線。如果我現在這樣問你：P(x = 10) = ?
答案是：NO！,P(x=10) = 0!
我們上面所討論的問題，都基於一個前提：就是我們的自變量x是一個連續隨機變量 ，在連續隨機變量的概率密度曲線中，x準確等於任何一個數的概率都是0！
那麼要怎麼表示概率呢？我們可以用一個區間，比如說x在[9.9, 10.1]區間的概率是多少。這樣就會取得一個確定的概率P. 在微積分的知識裏我們知道，在pdf曲線中計算x落在區間[9.9, 10.1]上的概率就應該是曲線在[9.9, 10.1]那段的面積：∫ 9.9 10.1 f ( x ) d x
\int_{9.9}^{10.1}f(x)dx
∫ 9 . 9 1 0 . 1 f ( x ) d x
近似可以看作上圖的藍色矩形的面積。因此，概率密度曲線中某一x範圍[ x , x + △ x ] [x, x+△x] [ x , x + △ x ] [ x , x + △ x ] [x, x+△x] [ x , x + △ x ]
概率密度函數，頻譜密度函數 ，這兩者其實內涵是類似的！
概率密度P ( x ) P(x) P ( x ) 對應的是概率 ，那麼曲線在[ x , x + △ x ] [x, x+△x] [ x , x + △ x ] [ x , x + △ x ] [x, x+△x] [ x , x + △ x ] 概率 X ( f ) X(f) X ( f ) 對應的是c k c_k c k ，那麼曲線在[ f , f + △ f ] [f, f+△f] [ f , f + △ f ] [ f , f + △ f ] [f, f+△f] [ f , f + △ f ] c k c_k c k
而面積可以近似地以矩形的面積代替，那麼矩形的底就是△ f △f △ f c k △ f \frac{c_k}{△f} △ f c k
因此，所有的c k △ f \frac{c_k}{△f} △ f c k 其中，在上圖，△ f △f △ f f 0 f_0 f 0 T 0 T_0 T 0
我們在剛剛說了：c k △ f \frac{c_k}{△f} △ f c k c k △ f \frac{c_k}{△f} △ f c k
我們從週期矩形信號的 c k c_k c k c k = 1 n s i n c ( k n )
c_k = \frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n}) c k = n 1 s i n c ( n k ) τ τ τ T 0 T_0 T 0 （這裏大家注意區分一下：我們現在是令週期不變，就是 T 0 T_0 T 0 τ T 0 \frac{τ}{T_0} T 0 τ
所以，原式變爲：c k = τ T 0 s i n c ( k τ T 0 )
c_k = \frac{τ}{T_0}sinc(\frac{kτ}{T_0}) c k = T 0 τ s i n c ( T 0 k τ )
既然我們現在想找週期信號的連續譜，就意味着我們想計算：c k △ f \frac{c_k}{△f} △ f c k c k △ f = c k f 0 = c k T 0 = τ s i n c ( k τ f 0 ) (1)
\begin{aligned}
\frac{c_k}{△f} &= \frac{c_k}{f_0} = c_kT_0\\
&=τsinc(kτf_0)\tag{1}
\end{aligned}
△ f c k = f 0 c k = c k T 0 = τ s i n c ( k τ f 0 ) ( 1 ) f 0 f_0 f 0 k f 0 kf_0 k f 0 ω = k ω 0 ω = kω_0 ω = k ω 0 f f f k f 0 kf_0 k f 0 c k △ f = τ s i n c ( τ f ) (2)
\frac{c_k}{△f} = τsinc(τf)\tag{2} △ f c k = τ s i n c ( τ f ) ( 2 )
因爲（2）式沒有 k，而 f f f τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f ) τ s i n c ( k τ f 0 ) τsinc(kτf_0) τ s i n c ( k τ f 0 ) f 0 f_0 f 0 τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f )
我們先看看對佔空比 50% 的信號以 f 0 f_0 f 0
同樣，對比一下其他佔空比的信號的連續譜：
下面這個圖我沒有把對應的線譜畫出來，不然太密了就看不清連續譜的樣子了：
我們可以發現：T 0 T_0 T 0 τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f ) f 0 f_0 f 0
第二張採樣得到的連續譜，是週期爲 2 T 0 2T_0 2 T 0 τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f ) 1 2 T 0 \frac{1}{2T_0} 2 T 0 1
第三張採樣得到的連續譜，是週期爲：3 T 0 3T_0 3 T 0 τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f ) 1 3 T 0 \frac{1}{3T_0} 3 T 0 1
我們發現，隨着週期矩形信號的頻率不斷增大，採樣得到的連續譜就越來越接近信號 τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f ) 所以，我們可以推出：在 T無窮大的時候，也就是非週期矩形信號，它的連續譜就是：τ s i n c ( τ f ) τsinc(τf) τ s i n c ( τ f )
知道了週期信號和非週期信號都可以用連續譜（即頻譜密度函數）表示，那麼c k △ f = c k T 0 = ∫ − T 0 2 + T 0 2 x ( t ) e − j k ω 0 t d t = ∫ − T 0 2 + T 0 2 x ( t ) e − j k 2 Π f 0 t d t = ∫ − T 0 2 + T 0 2 x ( t ) e − j 2 Π f t d t
\begin{aligned}
\frac{c_k}{△f} &=c_kT_0 = \int_{-\frac{T_0}{2}}^{+\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jkω_0t}dt\\
&=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{+\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jk2Πf_0t}dt\\
&=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{+\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-j2Πft}dt\\
\end{aligned}
△ f c k = c k T 0 = ∫ − 2 T 0 + 2 T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t = ∫ − 2 T 0 + 2 T 0 x ( t ) e − j k 2 Π f 0 t d t = ∫ − 2 T 0 + 2 T 0 x ( t ) e − j 2 Π f t d t
當T=∞時，就有：X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j 2 Π f t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t
X(f) = \int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-j2Πft}dt = \int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-jωt}dt X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j 2 Π f t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t
