DTOJ 2899. Solar lamps(lamp)

題意

lantian有一個美麗的大花園，因爲他喜歡在黃昏後欣賞花園的美麗，他在花園中安裝了許多盞燈。

這些燈是有方向的，它們只會朝一個確定的夾角內發光。而且，lantian把它們安放的很整齊，所以它們都朝向同一個方向。

這些燈都是太陽能燈，它們使用的是太陽能而不是電能。第 $ i $ 盞燈會發光當且僅當至少 $ k_i $ 盞燈照到了它或者它通了電。

現在，lantian將按 $ 1 $ 到 $ n $ 的順序給每盞燈通電，即在第 $ i $ 個時刻給第 $ i $ 盞燈通電。最後，lantian想知道每盞燈從哪一個時刻開始發光，請寫一個程序回答這個問題。

題解

首先那個夾角的範圍直接看不好做，考慮轉化爲直角座標系。即以所給的兩條射線的方向向量爲基底，每個點用它們表示爲直角座標系的座標。注意到兩條射線共線時會有問題，把其中一條偏轉一下，變爲一個極小的夾角即可。

於是問題轉化爲直角座標系上的$n$個點，第$i$個點在時刻i被點亮，如果它的左下角有不少於$k_i$個點被點亮時它也被點亮，求每個點第一次被點亮的時間。

由於這個過程是動態的，即一個點被點亮時會影響它右上的點，被點亮的又會繼續去影響，且每個點的$k_i$不同，直接做不好找到哪些點有影響，不好維護。而我們關心的又是時間，如果我們能知道在一個時間前被點亮的點有影響，那麼直接考慮編號小於這個時間的點的影響，並在該過程中把這個時間內被點亮的點的影響加入，就可以把所有點被點亮的時間分爲前後兩部分。

於是考慮整體二分，記當前$[a,b]$內的點在時間$[l,r]$內被點亮，按照$x$爲第一關鍵字，$y$爲第二關鍵字排序，用以$y$爲關鍵字的樹狀數組維護找出每個點右下角的點數，即可找出$mid$之前被點亮的點，遞歸下去做即可。