[BZOJ 2820]YY的GCD：莫比烏斯反演

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推導很強，建議看這裏

我最初主要是沒看懂線性篩求g[i]的部分，在這裏補充下：
g[i * prime[j]]中如果prime[j] | i，那麼i * prime[j]/pp（pp爲素數）只有兩種情況：

• pp==prime[j]，那麼g[i * prime[j]]+=mu[i];
• pp!=prime[j]，那麼i * prime[j]/pp一定是prime[j]^2的倍數，根據莫比烏斯函數性質可知此時mu[i * prime[j]/pp]=0，不影響結果
  因此如果prime[j] | i，那麼g[i * prime[j]]=mu[i]

如果i%prime[j]，那麼i*prime[j]/pp也有兩種情況：

• pp==prime[j]，那麼g[i * prime[j]]+=mu[ i ]
• 否則，i * prime[j]/pp=(i/pp) * prime[j]，根據莫比烏斯函數性質，g[i * prime[j]]+=g[i]*(-1)

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:3265
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const int M=1e7+5;
int n,m,mu[M],prime[M],cnt,g[M];
bool not_prime[M];
ll res;
void solve(){
    res=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    for(int i=1,r;i<=n;i=r+1){
        r=min(n/(n/i),m/(m/i));
        res+=(ll)(g[r]-g[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    printf("%lld\n",res);
}
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e7;i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
            g[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=1e7;j++){
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                g[i*prime[j]]=mu[i];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            g[i*prime[j]]=mu[i]-g[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=1e7;i++) g[i]+=g[i-1];
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}