無論是在形式化的有效市場假說中，還是在期權定價的股價運動微分方程中，我們都可以見到其對於股票的價格都使用的是對數價格，而不是價格本身，那麼爲何要對做價格取對數處理呢？本文將從連續時間下的利息理論中的概念說起，一步步推導出對數價格的存在原因。本文的總體結論是：由於投資者關注的是相對概念（比如收益率），而非價格本身，因此在相對概念的前提下，引入利息強度，然後在連續時間模型下，導出對數價格。
目錄
一、利息強度——連續時間模型下的資產增值能力的衡量方式
在離散時間情況下，我們可以通過利率來衡量一個產品的增值能力，那麼，在連續時間模型下，我們通過什麼來衡量一個產品的增值能力呢？直觀上，資產的增值能力肯定是一個相對的值，就和離散時間下的利率概念一樣，這樣纔不會受資產本身大小所影響，然後這個指標的定義肯定和時間有關，只有控制住時間變量，一定的增長量纔有可比性。基於此，提出了利息強度概念，定義如下。其中a(t)表示財富值隨時間變化的函數，Q表示利息強度。
由上述定義可知，Q(t)表示在時刻t，資產的變化率和該點資產值的比值。資產的變化率表示該點資產絕對值的變化快慢，其跟該點資產值的比值，表示在該點資產相對值的變化快慢。換句話說，Q(t)表示在時刻t，資產保持變化率不變，在單位時間內的實際利率。所以，Q(t)值越大，表示在時刻t，資產的增值能力越強，也即生息能力越強，所以叫利息強度，可以用來衡量在連續時間下，資產的增值能力。
二、常值利息強度下的資產函數
當一個資產隨時間的函數的利息強度爲常數Q時，那麼該函數的形式是怎樣的呢？很顯然，通過簡單的常微分方程知識，忽略指數常數項，我們可以求得資產函數具有如下形式。
可知，當利息強度爲常數時，資產累計函數是一個自然底數e爲底數的指數函數。同時對兩邊取對數，可得如下結果。
即利息強度Q等於單位時間的對數財富值的差值。
三、從利息強度到連續複利
連續複利是連續時間語境下的計息方式，根據定義，利息強度Q(t)可以表示成在時刻t的瞬時實際利率在單位時間內的累和，如下所示。n倍的瞬時實際利率趨向於Q，所以用Q/n表示小時間區間內的實際利率，單位時間內，共有n個小區間，那麼根據複利計算方式，在n趨於無窮大的時候，可以得到下面最右邊的結果。該結果和在單位時間內常值利息強度得到的結果是一樣的。所以，常值利息強度下的資產增值過程，和連續複利過程是一樣的。
根據上述Q的定義，即等於單位時間內的瞬時實際利率之和，這也利息理論中的名義利率是類似的，因此，實際上，我們還可以認爲Q是連續時間下的名義利率。具體關於名義利率的定義和信息，可以參考筆者的這篇文獻《利率、連續複利和利息強度》。
四、連續時間下的價格運動描述
在金融市場，在交易時間，資產價格的變化可以認爲是連續的，其每時每刻都受市場信息的影響發生變動，因此，股價運動過程更應該被認爲是一個連續時間下的過程，且是一個連續複利過程，因爲在較小的時間尺度上，投資者獲取的資本利得往往不會立馬被出金，而是繼續留在資本市場中進行復利運動。所以，資產價格的運動可以通過利息強度來描述，不同的是，由於上述的利息強度是一個常值，而市場中的價格是一個隨機變量，因此我們預期資產價格對應的利息強度也是一個隨機變量，即其不是一個常值，但是期望爲Q。這裏的利息強度同時也是名義利率，如果讀者對利息強度的概念比較陌生，也可以用名義利率去理解。所以，根據第二部分，我們對價格可以得到如下的形似。其中V表示一個期望爲Q的隨機變量。
五、有效市場假說下（EMH）的隨機變量V服從正態分佈
根據利息強度定義，其爲單位時間內無數個瞬時實際收益率之和；在小區間時間內，資產收益率是一個隨機變量， 在有效市場假說下， 不同時間區間內的收益率是相互獨立的，那麼根據中心極限定理，V必然服從正態分佈，同時，由於是在EMH下，在不考慮貨幣時間價值（無風險利率）的情況下，V的期望應該是0。因此，就得到了有效市場假說的形式化表達。
這裏的
六、絕對價格爲何不合理？
爲何不能直接用價格，而是要用對數價格呢？我們上述對於對數價格的推導是基於利息強度的，根本是在於用了利息強度去描述連續時間下的價格運動過程，而且我們知道這是合理的。但是問題在於，爲什麼直接用如下形式，即直接用價格描述是不合理的呢？
其實價格的一階差分可以認爲是平穩的，而且由於價格的可加性，
