2020年春季學期信號與系統課程作業參考答案-第十三次作業

信號與系統課程第十三次作業參考答案

 

 

※ 第一題

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如下圖所示的反饋系統，回答以下各列問題：
（1）寫出系統的傳遞函數：$H\left( s \right) = {{V_2 \left( s \right)} \over {V_1 \left( s \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\,$
（2） K滿足什麼條件時系統穩定？
（3）在臨界穩定條件下，系統的衝激響應$h\left( t \right)$。

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■ 求解：

（1）求解：
${{Ks} \over {s^2 + 4s + 4}}\left[ {V_1 \left( s \right) + V_2 \left( s \right)} \right] = V_2 \left( s \right)$$H\left( s \right) = {{V_2 \left( s \right)} \over {V_1 \left( s \right)}} = {{Ks} \over {s^2 + \left( {4 - K} \right)s + 4}}$

（2）求解：
$p_{1,2} = {{\left( {K - 4} \right) \pm j\sqrt {16 - \left( {4 - K} \right)^2 } } \over 2}$${{K - 4} \over 2} < 0\,\,\, \Rightarrow \,\,K < 4$

（3）求解：

$K = 4,\,\,\,H\left( s \right) = {{4s} \over {s^2 + 4}}$$h\left( t \right) = 4\cos \left( {2t} \right) \cdot u\left( t \right)$

^{▲ 使用MATLAB中的SIMULINK可以來仿真在上述各個K值參數下系統的單位階躍響應：}

 

※ 第二題

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如下圖所示的反饋系統，回答以下各列問題：
（1）寫出系統傳遞函數：$H\left( z \right) = {{Y\left( z \right)} \over {X\left( z \right)}}$
（2）K滿足什麼條件的時候系統穩定？

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■ 求解：

（1）解答：
$y\left[ n \right] = y\left[ {n - 1} \right] + 4y\left[ {n - 2} \right] - k \cdot y\left[ {n - 1} \right] + x\left[ n \right]$$Y\left( z \right) = \left( {1 - k} \right)z^{ - 1} Y\left( z \right) + 4z^{ - 2} Y\left( z \right) + X\left( z \right)$$H\left( z \right) = {{Y\left( z \right)} \over {X\left( z \right)}} = {{z^2 } \over {z^2 + \left( {K - 1} \right)z - 4}}$

（2）解答：
$\Delta = \left( {K - 1} \right)^2 + 16 > 0,\,\,z_1 z_2 = - 4$

根據$z_1 ,z_2$的乘積等於-4，說明在任何時候，兩者中至少有一個絕對值大於1，所以系統總是不能夠穩定的。

 

※ 第三題

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離散時間系統如下圖所示：
（1） 求該系統的傳遞函數$H\left( z \right)$；
（2） 設系統的機理爲：$x\left[ n \right] = \left[ {\left( { - 1} \right)^n + \left( { - 2} \right)^n } \right] \cdot u\left[ n \right]$
用z變換求該系統的零狀態響應；
（3） 已知$x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right],\,\,y\left[ 0 \right] = 1,\,\,y\left[ { - 1} \right] = - 1$
利用z變換求該系統的零輸入響應。

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■ 求解：

（1）解答：
通過設立中間變量$w\left[ n \right]$建立兩個方程：

系統的傳遞函數爲：
${{Y\left( z \right)} \over {X\left( z \right)}} = {{4 + 5z^{ - 1} } \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}\, = {{4z^2 + 5z} \over {z^2 - 3z + 2}}$

（2）解答：
系統輸入信號的z變換：
$X\left( z \right) = {z \over {z + 1}} + {z \over {z + 2}}$

$Y\left( z \right) = H\left( z \right) \cdot X\left( z \right) = {{4z^2 + 5z} \over {z^2 - 3z + 2}} \cdot \left( {{z \over {z + 1}} + {z \over {z + 2}}} \right)$$= {{8z^4 + 22z^3 + 15z^2 } \over {z^4 - 5z^2 + 4}} = {{z^2 \left( {2z + 3} \right)\left( {4z + 5} \right)} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)\left( {z + 2} \right)\left( {z + 1} \right)}}$

$= {{ - {{15} \over 2}z} \over {z - 1}} + {{15{1 \over 6}z} \over {z - 2}} + {{{1 \over 2}z} \over {z + 2}} + {{ - {1 \over 6}z} \over {z + 1}}$

>>iztrans(ans)'
ans=(-2)^n/2 -(-1)^n/6 +(91*2^n)/6 -15/2

系統的零狀態響應爲：
$y\left[ n \right] = - {{15} \over 2} + {1 \over 2}\left( { - 2} \right)^n - {1 \over 6}\left( { - 1} \right)^n + {{91} \over 6} \cdot 2^n ,\,\,\,\,n \ge 0$

（3）解答：

根據系統的傳遞函數可以化簡爲：$Y\left( z \right) = {{4 + 5z^{ - 1} } \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}$

它對應的系統差分方程爲：$y\left[ n \right] - 3y\left[ {n - 1} \right] + 2y\left[ {n - 2} \right] = 4x\left[ n \right] + 5x\left[ {n - 1} \right]$
寫出對應的後向迭代方程：
$2y\left[ {n - 2} \right] = 4x\left[ n \right] + 5x\left[ {n - 1} \right] - y\left[ n \right] + 3y\left[ {n - 1} \right]$

根據已知條件，可以求出：$2y\left[ { - 2} \right] = 4x\left[ 0 \right] + 5x\left[ { - 1} \right] - y\left[ 0 \right] + 3y\left[ { - 1} \right]$

$y\left[ { - 2} \right] = {{4x\left[ 0 \right] + 5x\left[ { - 1} \right] - y\left[ 0 \right] + 3y\left[ { - 1} \right]} \over 2}\, = {{4 + 5 \cdot 0 - 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right)} \over 2} = 0$

$Y\left( z \right) - 3\left\{ {z^{ - 1} Y\left( z \right) + y\left[ { - 1} \right]} \right\} + 2\left\{ {z^{ - 2} Y\left( z \right) + y\left[ { - 2} \right] + z^{ - 1} y\left[ { - 1} \right]} \right\}\, = 4X\left( z \right) + 5\left\{ {z^{ - 1} X\left( z \right) - x\left[ { - 1} \right]} \right\}$$\left( {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} } \right)Y\left( z \right) - 3y\left[ { - 1} \right] + 2y\left[ { - 2} \right] + 2z^{ - 1} y\left[ { - 1} \right]\, = \left( {4 + 5z^{ - 1} } \right)X\left( z \right) - 5x\left[ { - 1} \right]$$Y\left( z \right) = {{\left( {4 + 5z^{ - 1} } \right)X\left( z \right) - 5x\left[ { - 1} \right] + \left( {3 - 2z^{ - 1} } \right)y\left[ { - 1} \right] + 2y\left[ { - 2} \right]} \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}$

系統的零輸入響應：
$Y_{zi} \left( z \right) = {{\left( {3 - 2z^{ - 1} } \right)\left( { - 1} \right)} \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }} = {{z\left( {3z - 2} \right)} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)}} = {{ - z} \over {z - 1}} + {{4z} \over {z - 2}}$

系統的零狀態響應：
$Y_{zs} \left( z \right) = {{\left( {4 + 5z^{ - 1} } \right) \cdot X\left( z \right)} \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}$

對$Y_{zi} \left( z \right)$進行z反變換，可以得到系統的零輸入響應：$y_{zi} \left[ n \right] = - 1 + 4 \cdot 2^n ,\,\,\,\,n \ge 0$

 

※ 第四題

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已知離散時間因果系統的差分方程爲：
（1）$y\left[ n \right] = 0.14x\left[ n \right] + 0.14x\left[ {n - 1} \right] + 1.02y\left[ {n - 1} \right]$
（2） $y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right]$
通過傳遞函數的幾點位置判斷系統的穩定性。

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■ 求解：

（1）求解：
$y\left[ n \right] = 0.14x\left[ n \right] + 0.14x\left[ {n - 1} \right] + 1.02y\left[ {n - 1} \right]$

系統的傳遞函數爲：$Y\left( z \right) = {{0.14 + 0.14z^{ - 1} } \over {1 - 1.02z^{ - 1} }} = {{0.14\left( {z + 1} \right)} \over {z - 1.02}}$

它具有一個單重實根：$p_1 = 1.02 > 1$

所以系統 不穩定 。

>>iztrans(0.14*(z+1)/(z-1.02))'
ans=(707*(51/50)^n)/2550 -(7*kroneckerDelta(n,0))/51

$y\left[ n \right] = {{707\left( {{{51} \over {50}}} \right)^n } \over {2550}} - {{7\delta \left[ n \right]} \over {51}}$

^{▲ 系統仿真結果輸出}

（2）求解：
$y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right]$

系統的傳遞函數爲：$Y\left( z \right) = {{0.5 - 0.3z^{ - 2} } \over {1 + 2z^{ - 1} + z^{ - 2} }} = {{z\left( {0.5z - 0.3} \right)} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }}$

具有雙重實根：$p_{1,2} = - 1$，所以系統 不穩定 。

>>iztrans(z*(0.5*z-0.3)/(z+1)^2)'
ans=(13*(-1)^n)/10 +(4*(-1)^n*(n-1))/5

$y[n] = 1.3\left( { - 1} \right)^n + 0.8\left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {n - 1} \right),\,\,\,\,n \ge 0$

^{▲ MATLAB仿真輸出結果}

 

※ 第五題

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對於線性時不變系統施加激勵信號：$x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right)$
系統的零狀態輸出爲：$y\left( t \right) = \left( {{1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{3t} } \right)u\left( t \right)$
求該系統的系統函數$H\left( s \right)$，單位脈衝響應$h\left( t \right)$。

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■ 求解：

將系統的零狀態輸入輸出信號進行Laplace變換：

系統函數爲：
$H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{{1 \over {2\left( {s + 1} \right)}} - {1 \over {s + 2}} + {2 \over {s - 3}}} \over {{1 \over {s + 1}}}}$$= {1 \over 2} - {{s + 1} \over {s + 2}} + {{2\left( {s + 1} \right)} \over {s - 3}}$$= {3 \over 2} + {1 \over {s + 2}} + {8 \over {s - 3}}$

將系統函數進行Laplace反變換，得到系統的單位脈衝響應$h\left( t \right)$：$h\left( t \right) = {3 \over 2}\delta \left( t \right) + e^{ - 2t} + 8e^{3t} ,\,\,\,\,t \ge 0$

 

※ 第六題

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已知電路如下面左圖所示，傳遞函數的零極點如下面右圖所示，且$H\left( 0 \right) = 1$。
求：R，L，C的值。

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■ 求解：

將電路換成s域元器件模型：

$H\left( s \right) = {{U_2 \left( s \right)} \over {U_1 \left( s \right)}} = {{{R \over {sRC + 1}}} \over {sL + {R \over {sRC + 1}}}}\, = {R \over {RLCs^2 + sL + R}}\, = {{{1 \over {LC}}} \over {s^2 + {1 \over {RC}}s + {1 \over {LC}}}}$

根據系統零極點的分佈$p_{1,2} = - 1 \pm j$，可以知道系統的傳遞函數爲：$H\left( s \right) = {K \over {\left( {s + 1 - j} \right)\left( {s + 1 + j} \right)}} = {K \over {s^2 + 2s + 2}}$

根據$H\left( 0 \right)$的取值，可以求出K值：$H\left( 0 \right) = {K \over 2} = 1,\,\,\,\,K = 2$

所以系統函數爲：
$H\left( s \right) = {2 \over {s^2 + 2s + 2}}$
對比電路傳遞函數，可得：
${1 \over {LC}} = 2,\,\,\,{1 \over {RC}} = 2,\,\,{1 \over {LC}} = 2$$L = R,\,\,\,C = {1 \over {2R}}$

由於只能有兩個獨立的方程，所以只能假設氣氛中一個元器件的取值。在這裏假設電阻$R = 1\Omega$，那麼其他兩個元器件的取值便可以計算出來：$L = R = 1H,\,\,\,\,C = 1/2R = 0.5F$

 

※ 第七題

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下列z變換中，哪些是對應的因果系統的傳統函數？
（1） ${{\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} }}$
（2） ${{\left( {z - 1} \right)^2 } \over {z - {1 \over 2}}}$
（3）
${{\left( {z - {1 \over 6}} \right)^7 } \over {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^6 }}$

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■ 求解：

（1）求解： 分子的多項式的階次等於分母的多項式的階次，分式展開後不存在z的正冪次項，收斂域包括有∞,系統爲因果系統。

（2）求解： 分子的多項式的階次高於分母的多項式的階次，分式展開後存在z的正冪次項，收斂域不包括有∞,系統爲 非因果系統 。

（3）求解： 分子的多項式的階次高於分母的多項式的階次，分式展開後存在z的正冪次項，收斂域不包括有∞,系統爲 非因果系統 。

 

※ 第八題

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因果、穩定、LTI系統的傳遞函數爲$H\left( s \right)$。該系統的輸入爲：$x\left( t \right) = \delta \left( t \right) + e^{s_0 t} + x_1 \left( t \right)$
其中$x_1 \left( t \right)$未知，$s_0$是複數常數。
由$x\left( t \right)$產生的輸出信號爲：$y\left( t \right) = \delta \left( t \right) - 6e^{ - t} u\left( t \right) - {1 \over 2}e^{4t} \cos 3t - {3 \over 2}e^{4t} \sin 3t$
求符合上述條件的的傳遞函數$H\left( s \right)$。

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■ 求解：

將$y\left( t \right)$進行Laplace變換：
$Y\left( s \right) = 1 - {6 \over {s + 1}} + {1 \over 2} \cdot {{s + 5} \over {s^2 - 8s + 25}}$$= 1 - {6 \over {s + 1}} + {1 \over 4}\left( {{{1 - 3j} \over {s - 4 - 3j}} + {{1 + 3j} \over {s - 4 + 3j}}} \right)$

$= {{s^3 - 13.5s^2 + 62s - 127.5} \over {s^3 - 7s^2 + 17s + 25}}$

$= {{s - 7.5} \over {s + 1}} \cdot {{s^2 - 6s + 17} \over {s^2 - 8s + 25}}$

>>laplace(dirac(t)-6*exp(-t)-(exp(4*t)*(cos(3*t)+3*sin(3*t)))/2)'
ans=1 -6/(s+1)-9/(2*((s-4)^2 +9))-(s-4)/(2*((s-4)^2 +9)
>>partfrac((m+5)/(2*m^2-16*m+50),m,'FactorMode','full')'
ans=(1/4 -3i/4)/(m-4 -3i)+(1/4 +3i/4)/(m-4 +3i)

由於$x\left( t \right)$是實數函數，所以$x_1 \left( t \right)$應該包含$e^{s_0 t}$的共軛函數$e^{s_0^* t}$，所以：$X\left( s \right) = 1 + {1 \over {s - s_0 }} + {1 \over {s - s_0^* }}$

對比LTI輸出信號中的表達式，可以知道：$s_0 = 4 + 3j$。$X\left( s \right) = 1 + {{2s - 8} \over {s^2 - 8s + 25}} = {{s^2 - 6s + 17} \over {s^2 - 8s + 25}}$
由於$Y\left( s \right) = X\left( s \right) \cdot H\left( s \right)$，所以：$H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{s - 7.5} \over {s + 1}}$

 

※ 第九題

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因果、穩定、LTI系統的單位脈衝響應和有理系統函數分別是$h\left( t \right)$與$H\left( s \right)$。已知系統的輸入爲單位階躍函數$u\left( t \right)$時，系統輸出爲絕對可和。當輸入爲$t \cdot u\left( t \right)$時，系統輸出不是絕對可和。此外：
${{d^2 h\left( t \right)} \over {dt^2 }} + 2{{dh\left( t \right)} \over {dt}} + 2h\left( t \right)$
是有限長信號。$H\left( 1 \right) = 0.2,\,\,\,\,\,H\left( s \right)$在無窮遠點只有一個零點。

求系統的傳遞函數$H\left( s \right)$，給出收斂域。試討論各個已知條件的作用。

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■ 求解：

1. 根據系統是因果、穩定、LTI系統可知， 系統的有理系統函數的極點都位於s平面 左半平面。

2. 根據系統在u(t)的作用下，系統的輸出爲 絕對可和，表明：${1 \over s}H\left( s \right)$收斂域包含虛軸，即${1 \over s}H\left( s \right)$沒有$s = 0$處的極點，因此$H\left( s \right)$至少包含一個$s = 0$的零點。

3. 根據系統在$t \cdot u\left( t \right)$作用下，系統輸出不是絕對可積，因此$H\left( s \right)$在$s = 0$處的零點不超過兩階；系統函數可以寫成：$H\left( s \right) = {{s \cdot A\left( s \right)} \over {B\left( s \right)}}$

4. 根據${{d^2 h\left( t \right)} \over {dt^2 }} + 2{{dh\left( t \right)} \over {dt}} + 2$爲有限長，即$\left( {s^2 + 2s + 2} \right)H\left( s \right)$不再包含任何極點，所以：$B\left( s \right) = s^2 + 2s + 2$。

5. 根據$H\left( s \right)$在無窮遠點只有一個一節零點，說明$H\left( s \right)$的分子比分母的階次小1。所以系統函數可以寫成：$H\left( s \right) = {{s \cdot A} \over {s^2 + 2s + 2}}$

6. 再由$H\left( 1 \right) = 0.2$，可以求得$A = 1$。最終，有理系統函數爲：$H\left( s \right) = {s \over {s^2 + 2s + 2}}$

 

※ 第十題

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用幾何確定法粗略畫出下列系統的幅頻特性：
（1） $H_1 \left( s \right) = {1 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}},\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 2$
（2） $H_2 \left( s \right) = {{s^2 } \over {s^2 + 2s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 1$
（3） $H_3 \left( s \right) = {{s^2 - s + 1} \over {s^2 + s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - {1 \over 2}$

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■ 求解：

（1）求解：
$H_1 \left( s \right) = {1 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}},\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 2$

bode(tf(zpk([],[-2,-3],1)))'

（2）求解：

$H_2 \left( s \right) = {{s^2 } \over {s^2 + 2s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 1$

bode(tf(zpk([0,0],[-1,-1],1)))'

（3）求解：

$H_3 \left( s \right) = {{s^2 - s + 1} \over {s^2 + s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - {1 \over 2}$

bode(tf([1,-1,1],[1,1,1]))'

 

※ 第十一題

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已知以下系統，用幾何作圖法粗略會出它們的幅頻和相頻特性。
（1）$H\left( z \right) = {{2z} \over {z - 0.6}}\;\;\;\;\;$
（2） $H\left( z \right) = {{\left( {0.96 + z^{ - 1} } \right)^2 } \over {0.36z^{ - 2} + 1}}\;\;\;\;\;$

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■ 求解：

（1）求解：

（2）求解：