2020年春季學期信號與系統課程作業參考答案-第十五次作業

信號與系統課程第十五次作業參考答案

 

 

※ 第一題

---

已知$x\left[ n \right],h\left[ n \right]$長度分別是10， 25。設：$y_1 \left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]$。
把$x\left[ n \right]$和$h\left[ n \right]$分別進行25點的離散傅里葉變換後相乘，即：$Y\left[ k \right] = X\left[ k \right] \cdot H\left[ k \right]$。
由$Y\left[ k \right]$求出$y\left[ n \right]$，指出$y_1 \left[ n \right],y\left[ n \right]$相同的點。

---

■ 求解：

 

※ 第二題

---

如果希望通過DFT獲得吉他每個琴絃的頻譜特性，要求頻譜分析的最大範圍是20kHz，頻譜分辨率爲1Hz。請問需要進行數據採集的頻譜和時間長度分別是多少？

---

■ 求解：

數據採集頻率爲40kHz
數據採集時間爲1秒鐘。

 

※ 第三題

---

序列$x\left[ n \right]$的長度爲8192。已知一臺計算機 每次的實數乘法和加分的時間分別爲20微秒和4微秒，求直接計算$DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}$和快速傅裏 葉變換計算各需要多少時間?

---

■ 求解：

長度爲N,N 恰好是2的整數次冪的數，對應對應的DFT的複數乘法和加分分別是：
$N^2 ,\,\,\,N\left( {N - 1} \right)$

對應的FFT的複數乘法和加分分別是：

${N \over 2}\log _2 N,\,\,\,N\log _2 N$

那麼對應的實數乘法和加法分別是：
DFT : $4N^2 ,\,\,\,4N^2 - 2N$
FFT : $2N\log _2 N,\,\,\,3N\log _2 N$
相應的運算時間分別爲：
DFT : $20 \cdot 4N^2 + 4 \cdot \left( {3N^2 - 2N} \right)\,\,\,\mu s$
FFT： $20 \cdot 2N\log _2 N + 4 \cdot 3N\log _2 N\,\,\mu s$

計算得出所需要的是時間分別約爲：
DFT：6173.3 (s)
FFT：5.537 (s)

 

※ 第四題

---

已知$x\left[ n \right],y\left[ n \right]$均爲$N$點的實序列，且：$X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}$,$Y\left[ k \right] = DFT\left\{ {y\left[ n \right]} \right\}$。

設計一個從$X\left[ k \right],Y\left[ k \right]$求出$x\left[ n \right],y\left[ n \right]$的$N$點的離散傅里葉反變換的算法，爲了提高運算效率，要求該運算能夠一次完成。

---

■ 求解：

利用$X\left[ k \right],Y\left[ k \right]$構造數據$Z\left[ k \right]$：$Z\left[ k \right] = X\left[ k \right] + jY\left[ k \right]$。
利用N點的離散傅里葉反變換對Z[k]進行變換。根據DFT的線性性，結果中的實部對應x[n],虛部對應y[n].

 

※ 第五題

---

設系統頻率特性幅度平方函數的表達式爲：
（1）$\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {1 \over {\Omega ^4 + \Omega ^2 + 1}}$

（2） $\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{1 + \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 - 3\Omega ^2 + 2}}$

（3） $\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{100 - \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 + 20\Omega ^2 + 10}}$

請問哪些系統是物理可實現的？

---

■ 求解：

給定的三個系統的幅頻函數都是有理分式表達式，它們都會滿足佩利維納準則。所以判斷系統是否物理可實現，主要根據系統函數模的平方是否可積。

系統（1）的模的平方的積分小於無窮大；所以它是可以物理實現的；
系統（2），（3）的模的平方積分趨於無窮大，這兩個系統是物理不可實現的。

 

※ 第六題

---

畫出以下傳遞函數的濾波器結構圖：
（1） $H_1 \left( z \right) = {1 \over {1 - az^{ - 1} }}$

（2） $H_2 \left( z \right) = \left( {1 - z^{ - 1} } \right)^3$

（3） $H_3 \left( z \right) = {{1 - z^{ - 1} } \over {1 - az^{ - 1} }}$

（4） $H_4 \left( z \right) = {{\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }}$

---

■ 求解：

將系統傳遞函數整理成有理分式的形式，然後可以繪製出I型濾波器實現結構：

（1）

（2）
$H\left( z \right) = 1 - 3z^{ - 1} + 3z^{ - 3} - z^{ - 3}$

（3）

（4）

$H_4 \left( z \right) = {{1 - 2z^{ - 1} + z^{ - 2} } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }}$

 

※ 第七題

---

已知IIR數字濾波器的傳遞函數爲：
$H\left( z \right) = {{0.28z^2 + 0.192z + 0.05} \over {z^3 + 0.65z^2 + 0.55z + 0.03}}$

給出它的直接II行、級聯型、並聯型的濾波器結構圖。

---

■ 求解：

$H\left( z \right) = {{0.28z^{ - 1} + 0.192z^{ - 2} + 0.05z^{ - 3} } \over {1 + 0.65z^{ - 1} + 0.55z^{ - 2} + 0.03z^{ - 3} }}$

對應的直接II型濾波器的結構爲：

 

※ 第八題

---

已知全通系統的傳遞函數爲：

$H_{ap} = {{z^{ - 1} - z_0^* } \over {1 - z_0 z^{ - 1} }}$
$z_0$是實數。
（1）寫出該系統的差分方程表達式；
（2）會出直接II型實現的系統框圖；

---

■ 求解：

略。

 

※ 第九題

---

已知模擬濾波器的傳遞函數爲：
（1）$H\left( s \right) = {5 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}$

（2） $H\left( s \right) = {{3s + 2} \over {2s^2 + 3s + 1}}$

設採樣週期$T = 0.5$，用以下方法將它們轉換爲數字濾波器：
（1）脈衝響應不變法；
（2）雙線性變換法；

---

■ 求解：

（1）求解：
使用脈衝響應不變法：
$H\left( z \right) = {{2.0569z^{ - 1} } \over {1 - 4.8496z^{ - 1} + 1.6487z^{ - 2} }}$
雙線性方法：
$H\left( z \right) = {{0.8333 + 1.6667z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 7.3333z^{ - 1} + 2.3333z^{ - 2} }}$

（2）求解：
雙線性方法：
$H\left( z \right) = {{0.3111 + 0.0899z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 1.3778z^{ - 1} + 0.4667z^{ - 2} }}$

 

※ 第十題

---

使用窗函數法設計一個線性相位FIR濾波器，要求的技術指標爲：
（1） 在$\Omega _p = 30\pi \,\,rad/s$處的衰減$\delta _p \ge - 3dB$；
（2） 在$\Omega _s = 46\pi \,\,\,rad/s$處的衰減$\delta _s \le - 40d{\bf{B}}$；
（3）採樣週期$T = 0.01s$。

---

■ 求解：

採用海明窗口，其單位樣值響應爲：
$h\left[ n \right] = {{\sin \left[ {0.3\pi \left( {n - 25} \right)} \right]} \over {\pi \left( {n - 25} \right)}}\left[ {0.54 - 0.46\cos \left( {{{2\pi \cdot n} \over {50}}} \right)} \right],\,\,\,\,0 \le n \le 50$

 

※ 第十一題

---

使用級聯結構實現以下傳遞函數：
（1）$X\left( z \right) = {{1 - {1 \over 4}z^{ - 1} } \over {\left( {1 + {1 \over 4}z^{ - 1} } \right)\left( {1 + {5 \over 4}z^{ - 1} + {3 \over 8}z^{ - 2} } \right)}}$

（2）$X\left( z \right) = {{1 + 8z^{ - 1} + 14z^{ - 2} + 9z^{ - 3} } \over {1 + 6z^{ - 1} + 11z^{ - 2} + 6z^{ - 3} }}$

---

■ 求解：

略。